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Theorem 1stcelcls 17203
 Description: A point belongs to the closure of a subset iff there is a sequence in the subset converging to it. Theorem 1.4-6(a) of [Kreyszig] p. 30. This proof uses countable choice ax-cc 8077. A space satisfying the conclusion of this theorem is called a sequential space, so the theorem can also be stated as "every first-countable space is a sequential space". (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcelcls.1
Assertion
Ref Expression
1stcelcls
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem 1stcelcls
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 730 . . . . 5
2 1stctop 17185 . . . . . . 7
3 1stcelcls.1 . . . . . . . 8
43clsss3 16812 . . . . . . 7
52, 4sylan 457 . . . . . 6
65sselda 3193 . . . . 5
731stcfb 17187 . . . . 5
81, 6, 7syl2anc 642 . . . 4
9 simpr1 961 . . . . . . . . . . . . 13
10 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13
119, 10sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
123elcls2 16827 . . . . . . . . . . . . . . 15
132, 12sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
1413simplbda 607 . . . . . . . . . . . . 13
1514ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
16 simpr2 962 . . . . . . . . . . . . . 14
17 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15
1817ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . 14
1916, 18syl 15 . . . . . . . . . . . . 13
20 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15
2120eleq2d 2363 . . . . . . . . . . . . . 14
2221rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . 13
2319, 22sylan 457 . . . . . . . . . . . 12
24 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . 14
25 ineq1 3376 . . . . . . . . . . . . . . 15
2625neeq1d 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
2724, 26imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . 13
2827rspcv 2893 . . . . . . . . . . . 12
2911, 15, 23, 28syl3c 57 . . . . . . . . . . 11
30 elin 3371 . . . . . . . . . . . . . 14
31 ancom 437 . . . . . . . . . . . . . 14
3230, 31bitri 240 . . . . . . . . . . . . 13
3332exbii 1572 . . . . . . . . . . . 12
34 n0 3477 . . . . . . . . . . . 12
35 df-rex 2562 . . . . . . . . . . . 12
3633, 34, 353bitr4i 268 . . . . . . . . . . 11
3729, 36sylib 188 . . . . . . . . . 10
38 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
392ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . 15
403topopn 16668 . . . . . . . . . . . . . . 15
4139, 40syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14
42 ssexg 4176 . . . . . . . . . . . . . 14
4338, 41, 42syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
44 fvi 5595 . . . . . . . . . . . . 13
4543, 44syl 15 . . . . . . . . . . . 12
4645ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11
4746rexeqdv 2756 . . . . . . . . . 10
4837, 47mpbird 223 . . . . . . . . 9
4948ralrimiva 2639 . . . . . . . 8
50 fvex 5555 . . . . . . . . 9
51 nnenom 11058 . . . . . . . . 9
52 eleq1 2356 . . . . . . . . 9
5350, 51, 52axcc4 8081 . . . . . . . 8
5449, 53syl 15 . . . . . . 7
55 feq3 5393 . . . . . . . . . . . 12
5645, 55syl 15 . . . . . . . . . . 11
5756biimpd 198 . . . . . . . . . 10
5857adantr 451 . . . . . . . . 9
596ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12
60 simplr3 999 . . . . . . . . . . . . . . 15
61 eleq2 2357 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
62 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6362sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6463cbvrexv 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
65 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
6665rexbidv 2577 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6764, 66syl5bb 248 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6861, 67imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6968rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . 15
7060, 69sylan 457 . . . . . . . . . . . . . 14
71 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7271ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7316, 72syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7473adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
75 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7776sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7877imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
79 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8079sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8180imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
82 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
8382sseq1d 3218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8483imbi2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
85 ssid 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
8685a1ii 24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
87 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
8887uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
89 oveq1 5881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9089fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
91 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9290, 91sseq12d 3220 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9392rspccva 2896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
9488, 93sylan2 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
9594anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
96 sstr2 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
9795, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
9897expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
9998a2d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
10078, 81, 84, 81, 86, 99uzind4 10292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
101100com12 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
102101ralrimiv 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10374, 75, 102syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10475, 88sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
105 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
106105ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
107 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
108107, 79eleq12d 2364 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
109108rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
110104, 106, 109sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
111110ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
112 r19.26 2688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113103, 111, 112sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114 ssel2 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
115114ralimi 2631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
116113, 115syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117 ssel 3187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
118117ralimdv 2635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119116, 118syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120119anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121120anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . 15
122121reximdva 2668 . . . . . . . . . . . . . 14
12370, 122syld 40 . . . . . . . . . . . . 13
124123ralrimiva 2639 . . . . . . . . . . . 12
12539ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
1263toptopon 16687 . . . . . . . . . . . . . 14 TopOn
127125, 126sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13 TopOn
128 1z 10069 . . . . . . . . . . . . . 14
129128a1i 10 . . . . . . . . . . . . 13
130 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14
13138ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
132 fss 5413 . . . . . . . . . . . . . 14
133130, 131, 132syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13
134 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . 13
135127, 87, 129, 133, 134lmbrf 17006 . . . . . . . . . . . 12
13659, 124, 135mpbir2and 888 . . . . . . . . . . 11
137136expr 598 . . . . . . . . . 10
138137imdistanda 674 . . . . . . . . 9
13958, 138syland 467 . . . . . . . 8
140139eximdv 1612 . . . . . . 7
14154, 140mpd 14 . . . . . 6
142141ex 423 . . . . 5
143142exlimdv 1626 . . . 4
1448, 143mpd 14 . . 3
145144ex 423 . 2
1462ad2antrr 706 . . . . . 6
147146, 126sylib 188 . . . . 5 TopOn
148128a1i 10 . . . . 5
149 simprr 733 . . . . 5
150 simprl 732 . . . . . 6
151 ffvelrn 5679 . . . . . 6
152150, 151sylan 457 . . . . 5
153 simplr 731 . . . . 5
15487, 147, 148, 149, 152, 153lmcls 17046 . . . 4
155154ex 423 . . 3
156155exlimdv 1626 . 2
157145, 156impbid 183 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wa 358   w3a 934  wex 1531   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459  wral 2556  wrex 2557  cvv 2801   cin 3164   wss 3165  c0 3468  cuni 3843   class class class wbr 4039   cid 4320  wf 5267  cfv 5271  (class class class)co 5874  c1 8754   caddc 8756  cn 9762  cz 10040  cuz 10246  ctop 16647  TopOnctopon 16648  ccl 16771  clm 16972  c1stc 17179 This theorem is referenced by:  1stccnp  17204  hausmapdom  17242  1stckgen  17265  metelcls  18746 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cc 8077  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-top 16652  df-topon 16655  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-lm 16975  df-1stc 17181
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