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Theorem 1stcfb 17171
Description: For any point  A in a first-countable topology, there is a function  f : NN --> J enumerating neighborhoods of  A which is decreasing and forms a local base. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcclb.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
1stcfb  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) )
Distinct variable groups:    f, k,
y, A    f, J, k, y    k, X, y
Allowed substitution hint:    X( f)

Proof of Theorem 1stcfb
Dummy variables  a 
g  n  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stcclb.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
211stcclb 17170 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  E. x  e.  ~P  J ( x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
3 1stctop 17169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
43ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
51topopn 16652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
64, 5syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  X  e.  J )
7 simprrr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  A  e.  X )
9 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  X ) )
10 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  X  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  X
) )
1110anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  X  ->  (
( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) )
1211rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) )
139, 12imbi12d 311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( A  e.  X  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) ) )
1413rspcv 2880 . . . . . . . . . . 11  |-  ( X  e.  J  ->  ( A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( A  e.  X  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) ) )
156, 7, 8, 14syl3c 57 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) )
16 simpl 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  w  /\  w  C_  X )  ->  A  e.  w )
1716reximi 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X )  ->  E. w  e.  x  A  e.  w )
1815, 17syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  x  A  e.  w )
19 eleq2 2344 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  a  ->  ( A  e.  w  <->  A  e.  a ) )
2019cbvrexv 2765 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  x  A  e.  w  <->  E. a  e.  x  A  e.  a )
2118, 20sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. a  e.  x  A  e.  a )
22 rabn0 3474 . . . . . . . 8  |-  ( { a  e.  x  |  A  e.  a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  x  A  e.  a )
2321, 22sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  =/=  (/) )
24 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
2524rabex 4165 . . . . . . . 8  |-  { a  e.  x  |  A  e.  a }  e.  _V
26250sdom 6992 . . . . . . 7  |-  ( (/)  ~<  { a  e.  x  |  A  e.  a } 
<->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  =/=  (/) )
2723, 26sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  (/)  ~<  { a  e.  x  |  A  e.  a } )
28 ssrab2 3258 . . . . . . . 8  |-  { a  e.  x  |  A  e.  a }  C_  x
29 ssdomg 6907 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  ( { a  e.  x  |  A  e.  a }  C_  x  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  x ) )
3024, 28, 29mp2 17 . . . . . . 7  |-  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  x
31 simprrl 740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  x  ~<_  om )
32 nnenom 11042 . . . . . . . . 9  |-  NN  ~~  om
3332ensymi 6911 . . . . . . . 8  |-  om  ~~  NN
34 domentr 6920 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
3531, 33, 34sylancl 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  x  ~<_  NN )
36 domtr 6914 . . . . . . 7  |-  ( ( { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  x  /\  x  ~<_  NN )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  NN )
3730, 35, 36sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  NN )
38 fodomr 7012 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  { a  e.  x  |  A  e.  a }  /\  {
a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
3927, 37, 38syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. g 
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
403ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
41 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g
" ( 1 ... n ) )  C_  ran  g
42 forn 5454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  ran  g  =  { a  e.  x  |  A  e.  a } )
4342ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  ran  g  =  {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
44 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  x  e.  ~P J
)
45 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ~P J  ->  x  C_  J )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  x  C_  J )
4728, 46syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  C_  J )
4843, 47eqsstrd 3212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  ran  g  C_  J )
4948adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  g  C_  J
)
5041, 49syl5ss 3190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... n ) ) 
C_  J )
51 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
5251ssriv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
53 fof 5451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a } )
5453ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a } )
55 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  dom  g  =  NN )
5654, 55syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  dom  g  =  NN )
5752, 56syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( 1 ... n
)  C_  dom  g )
5857adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  C_  dom  g )
59 dfss1 3373 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  dom  g  <->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n ) )  =  ( 1 ... n
) )
6058, 59sylib 188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =  ( 1 ... n ) )
61 elfz1end 10820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( 1 ... n
) )
62 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( 1 ... n )  ->  (
1 ... n )  =/=  (/) )
6362adantl 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... n )  =/=  (/) )
6461, 63sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  =/=  (/) )
6560, 64eqnetrd 2464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =/=  (/) )
66 imadisj 5032 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g " ( 1 ... n ) )  =  (/)  <->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =  (/) )
6766necon3bii 2478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g " ( 1 ... n ) )  =/=  (/)  <->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =/=  (/) )
6865, 67sylibr 203 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... n ) )  =/=  (/) )
69 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  e.  Fin )
70 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  Fun  g )
7154, 70syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  Fun  g )
7271adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  Fun  g )
73 fores 5460 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Fun  g  /\  (
1 ... n )  C_  dom  g )  ->  (
g  |`  ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n
) -onto-> ( g "
( 1 ... n
) ) )
7472, 58, 73syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -onto-> ( g
" ( 1 ... n ) ) )
75 fofi 7142 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  ( g  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -onto-> ( g
" ( 1 ... n ) ) )  ->  ( g "
( 1 ... n
) )  e.  Fin )
7669, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... n ) )  e.  Fin )
77 fiinopn 16647 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( g "
( 1 ... n
) )  C_  J  /\  ( g " (
1 ... n ) )  =/=  (/)  /\  ( g
" ( 1 ... n ) )  e. 
Fin )  ->  |^| (
g " ( 1 ... n ) )  e.  J ) )
7877imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( g "
( 1 ... n
) )  C_  J  /\  ( g " (
1 ... n ) )  =/=  (/)  /\  ( g
" ( 1 ... n ) )  e. 
Fin ) )  ->  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J )
7940, 50, 68, 76, 78syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... n
) )  e.  J
)
80 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) )
8179, 80fmptd 5684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) : NN --> J )
82 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g
" ( 1 ... k ) )  C_  ran  g
8343adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ran  g  =  {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
8482, 83syl5sseq 3226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  { a  e.  x  |  A  e.  a } )
85 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  n  ->  A  e.  n )
8685rgenw 2610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A. n  e.  x  ( A  e.  n  ->  A  e.  n )
87 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  =  n  ->  ( A  e.  a  <->  A  e.  n ) )
8887ralrab 2927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. n  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } A  e.  n  <->  A. n  e.  x  ( A  e.  n  ->  A  e.  n ) )
8986, 88mpbir 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  A. n  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } A  e.  n
90 ssralv 3237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g " ( 1 ... k ) ) 
C_  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  ( A. n  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } A  e.  n  ->  A. n  e.  ( g " (
1 ... k ) ) A  e.  n ) )
9184, 89, 90ee10 1366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) A  e.  n )
92 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  X )
93 elintg 3870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  |^| ( g
" ( 1 ... k ) )  <->  A. n  e.  ( g " (
1 ... k ) ) A  e.  n ) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  |^| ( g " (
1 ... k ) )  <->  A. n  e.  (
g " ( 1 ... k ) ) A  e.  n ) )
9591, 94mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  |^| (
g " ( 1 ... k ) ) )
96 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
9779ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. n  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J )
98 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... k
) )
9998imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  (
g " ( 1 ... n ) )  =  ( g "
( 1 ... k
) ) )
10099inteqd 3867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  |^| (
g " ( 1 ... n ) )  =  |^| ( g
" ( 1 ... k ) ) )
101100eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  ( |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  <->  |^| ( g
" ( 1 ... k ) )  e.  J ) )
102101rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  /\  k  e.  NN )  ->  |^| (
g " ( 1 ... k ) )  e.  J )
10397, 102sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  e.  J
)
104100, 80fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  e.  NN  /\  |^| ( g " (
1 ... k ) )  e.  J )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  |^| ( g " (
1 ... k ) ) )
10596, 103, 104syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  |^| ( g " (
1 ... k ) ) )
10695, 105eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) )
107 fzssp1 10834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... k )  C_  ( 1 ... (
k  +  1 ) )
108 imass2 5049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1 ... k ) 
C_  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  (
g " ( 1 ... k ) ) 
C_  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) ) )
109107, 108mp1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) ) )
110 intss 3883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g " ( 1 ... k ) ) 
C_  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  |^| (
g " ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ) 
C_  |^| ( g "
( 1 ... k
) ) )
111109, 110syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  C_  |^| (
g " ( 1 ... k ) ) )
112 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
113112adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
114 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
115114imaeq2d 5012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
g " ( 1 ... n ) )  =  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) ) )
116115inteqd 3867 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  |^| (
g " ( 1 ... n ) )  =  |^| ( g
" ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ) )
117116eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  <->  |^| ( g
" ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  e.  J ) )
118117rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A. n  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  /\  (
k  +  1 )  e.  NN )  ->  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) )  e.  J )
11997, 112, 118syl2an 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  e.  J
)
120116, 80fvmptg 5600 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) )  e.  J )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) ) )
121113, 119, 120syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) ) )
122111, 121, 1053sstr4d 3221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  C_  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) )
123106, 122jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
124123ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. k  e.  NN  ( A  e.  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
125 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
126 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  y ) )
127 sseq2 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  y  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  y
) )
128127anbi2d 684 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
129128rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
130126, 129imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( A  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) ) )
131130rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
132125, 131sylan 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
133 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  w  ->  ( A  e.  a  <->  A  e.  w ) )
134133rexrab 2929 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. w  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y 
<->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) )
13543rexeqdv 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. w  e. 
ran  g  w  C_  y 
<->  E. w  e.  {
a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y )
)
136 fofn 5453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  g  Fn  NN )
137136ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
g  Fn  NN )
138 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  =  ( g `  k )  ->  (
w  C_  y  <->  ( g `  k )  C_  y
) )
139138rexrn 5667 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( g  Fn  NN  ->  ( E. w  e.  ran  g  w  C_  y  <->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y
) )
140137, 139syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. w  e. 
ran  g  w  C_  y 
<->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  y )
)
141135, 140bitr3d 246 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. w  e. 
{ a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y  <->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y
) )
142141adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e. 
{ a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y  <->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y
) )
143 elfz1end 10820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( 1 ... k
) )
14471adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  Fun  g )
145 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
146145ssriv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
14756adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  dom  g  =  NN )
148146, 147syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( 1 ... k
)  C_  dom  g )
149 funfvima2 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  g  /\  (
1 ... k )  C_  dom  g )  ->  (
k  e.  ( 1 ... k )  -> 
( g `  k
)  e.  ( g
" ( 1 ... k ) ) ) )
150144, 148, 149syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( k  e.  ( 1 ... k )  ->  ( g `  k )  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) ) )
151150imp 418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  (
( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  /\  k  e.  (
1 ... k ) )  ->  ( g `  k )  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) )
152143, 151sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  (
( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( g `  k )  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) )
153 intss1 3877 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g `  k )  e.  ( g "
( 1 ... k
) )  ->  |^| (
g " ( 1 ... k ) ) 
C_  ( g `  k ) )
154 sstr2 3186 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  ( g `  k )  ->  (
( g `  k
)  C_  y  ->  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
155152, 153, 1543syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  (
( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( g `
 k )  C_  y  ->  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
156155reximdva 2655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
157142, 156sylbid 206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e. 
{ a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
158134, 157syl5bir 209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y )  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
159132, 158syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
160105sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y  <->  |^| ( g
" ( 1 ... k ) )  C_  y ) )
161160rexbidva 2560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y  <->  E. k  e.  NN  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
162161adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y  <->  E. k  e.  NN  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
163159, 162sylibrd 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  C_  y
) )
164163ralrimiva 2626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  C_  y
) )
165 nnex 9752 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  e.  _V
166165mptex 5746 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) )  e.  _V
167 feq1 5375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( f : NN --> J 
<->  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) : NN --> J ) )
168 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( f `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) )
169168eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( A  e.  ( f `  k )  <-> 
A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
170 fveq1 5524 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( f `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
171170, 168sseq12d 3207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )  <->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
172169, 171anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  <->  ( A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  /\  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) ) )
173172ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  <->  A. k  e.  NN  ( A  e.  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) ) )
174168sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( f `  k )  C_  y  <->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) )
175174rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y  <->  E. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) )
176175imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
)  <->  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) ) )
177176ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
)  <->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  C_  y
) ) )
178167, 173, 1773anbi123d 1252 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
)  <->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( (
n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) ) ) )
179166, 178spcev 2875 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( (
n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) )  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) )
18081, 124, 164, 179syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) )
181180expr 598 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  (
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) ) )
182181adantrrl 704 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  (
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) ) )
183182exlimdv 1664 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  ( E. g  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) ) )
18439, 183mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
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f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) )
185184expr 598 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  x  e.  ~P J )  ->  (
( x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) ) )
186185rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  ( E. x  e.  ~P  J ( x  ~<_  om 
/\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) ) )
1872, 186mpd 14 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   |^|cint 3862   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   omcom 4656   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   ...cfz 10782   Topctop 16631   1stcc1stc 17163
This theorem is referenced by:  1stcelcls  17187
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-top 16636  df-1stc 17165
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