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Theorem 1stcfb 17510
 Description: For any point in a first-countable topology, there is a function enumerating neighborhoods of which is decreasing and forms a local base. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcclb.1
Assertion
Ref Expression
1stcfb
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem 1stcfb
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stcclb.1 . . 3
211stcclb 17509 . 2
3 1stctop 17508 . . . . . . . . . . 11
43ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10
51topopn 16981 . . . . . . . . . 10
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9
7 simprrr 743 . . . . . . . . 9
8 simplr 733 . . . . . . . . 9
9 eleq2 2499 . . . . . . . . . . 11
10 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . 13
1110anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12
1211rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11
139, 12imbi12d 313 . . . . . . . . . 10
1413rspcv 3050 . . . . . . . . 9
156, 7, 8, 14syl3c 60 . . . . . . . 8
16 simpl 445 . . . . . . . . 9
1716reximi 2815 . . . . . . . 8
1815, 17syl 16 . . . . . . 7
19 eleq2 2499 . . . . . . . 8
2019cbvrexv 2935 . . . . . . 7
2118, 20sylib 190 . . . . . 6
22 rabn0 3649 . . . . . 6
2321, 22sylibr 205 . . . . 5
24 vex 2961 . . . . . . 7
2524rabex 4356 . . . . . 6
26250sdom 7240 . . . . 5
2723, 26sylibr 205 . . . 4
28 ssrab2 3430 . . . . . 6
29 ssdomg 7155 . . . . . 6
3024, 28, 29mp2 9 . . . . 5
31 simprrl 742 . . . . . 6
32 nnenom 11321 . . . . . . 7
3332ensymi 7159 . . . . . 6
34 domentr 7168 . . . . . 6
3531, 33, 34sylancl 645 . . . . 5
36 domtr 7162 . . . . 5
3730, 35, 36sylancr 646 . . . 4
38 fodomr 7260 . . . 4
3927, 37, 38syl2anc 644 . . 3
403ad3antrrr 712 . . . . . . . . 9
41 imassrn 5218 . . . . . . . . . 10
42 forn 5658 . . . . . . . . . . . . 13
4342ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12
44 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . 14
4544elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . 13
4628, 45syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . 12
4743, 46eqsstrd 3384 . . . . . . . . . . 11
4847adantr 453 . . . . . . . . . 10
4941, 48syl5ss 3361 . . . . . . . . 9
50 elfznn 11082 . . . . . . . . . . . . . . 15
5150ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . 14
52 fof 5655 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5352ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15
54 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . . . 15
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
5651, 55syl5sseqr 3399 . . . . . . . . . . . . 13
5756adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
58 dfss1 3547 . . . . . . . . . . . 12
5957, 58sylib 190 . . . . . . . . . . 11
60 elfz1end 11083 . . . . . . . . . . . 12
61 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . 13
6261adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
6360, 62sylan2b 463 . . . . . . . . . . 11
6459, 63eqnetrd 2621 . . . . . . . . . 10
65 imadisj 5225 . . . . . . . . . . 11
6665necon3bii 2635 . . . . . . . . . 10
6764, 66sylibr 205 . . . . . . . . 9
68 fzfid 11314 . . . . . . . . . 10
69 ffun 5595 . . . . . . . . . . . . 13
7053, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12
7170adantr 453 . . . . . . . . . . 11
72 fores 5664 . . . . . . . . . . 11
7371, 57, 72syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
74 fofi 7394 . . . . . . . . . 10
7568, 73, 74syl2anc 644 . . . . . . . . 9
76 fiinopn 16976 . . . . . . . . . 10
7776imp 420 . . . . . . . . 9
7840, 49, 67, 75, 77syl13anc 1187 . . . . . . . 8
79 eqid 2438 . . . . . . . 8
8078, 79fmptd 5895 . . . . . . 7
81 imassrn 5218 . . . . . . . . . . . . 13
8243adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13
8381, 82syl5sseq 3398 . . . . . . . . . . . 12
84 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14
8584rgenw 2775 . . . . . . . . . . . . 13
86 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14
8786ralrab 3098 . . . . . . . . . . . . 13
8885, 87mpbir 202 . . . . . . . . . . . 12
89 ssralv 3409 . . . . . . . . . . . 12
9083, 88, 89ee10 1386 . . . . . . . . . . 11
91 elintg 4060 . . . . . . . . . . . 12
9291ad3antlr 713 . . . . . . . . . . 11
9390, 92mpbird 225 . . . . . . . . . 10
94 simpr 449 . . . . . . . . . . 11
9578ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . 12
96 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9796imaeq2d 5205 . . . . . . . . . . . . . . 15
9897inteqd 4057 . . . . . . . . . . . . . 14
9998eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13
10099rspccva 3053 . . . . . . . . . . . 12
10195, 100sylan 459 . . . . . . . . . . 11
10298, 79fvmptg 5806 . . . . . . . . . . 11
10394, 101, 102syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
10493, 103eleqtrrd 2515 . . . . . . . . 9
105 fzssp1 11097 . . . . . . . . . . . 12
106 imass2 5242 . . . . . . . . . . . 12
107105, 106mp1i 12 . . . . . . . . . . 11
108 intss 4073 . . . . . . . . . . 11
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . 10
110 peano2nn 10014 . . . . . . . . . . . 12
111110adantl 454 . . . . . . . . . . 11
112 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113112imaeq2d 5205 . . . . . . . . . . . . . . 15
114113inteqd 4057 . . . . . . . . . . . . . 14
115114eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13
116115rspccva 3053 . . . . . . . . . . . 12
11795, 110, 116syl2an 465 . . . . . . . . . . 11
118114, 79fvmptg 5806 . . . . . . . . . . 11
119111, 117, 118syl2anc 644 . . . . . . . . . 10
120109, 119, 1033sstr4d 3393 . . . . . . . . 9
121104, 120jca 520 . . . . . . . 8
122121ralrimiva 2791 . . . . . . 7
123 simprlr 741 . . . . . . . . . . 11
124 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . 13
125 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . . 15
126125anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14
127126rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . 13
128124, 127imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12
129128rspccva 3053 . . . . . . . . . . 11
130123, 129sylan 459 . . . . . . . . . 10
131 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . 12
132131rexrab 3100 . . . . . . . . . . 11
13343rexeqdv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14
134 fofn 5657 . . . . . . . . . . . . . . . 16
135134ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15
136 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16
137136rexrn 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15
138135, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
139133, 138bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . 13
140139adantr 453 . . . . . . . . . . . 12
141 elfz1end 11083 . . . . . . . . . . . . . . 15
14270adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
143 elfznn 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
144143ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
14555adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
146144, 145syl5sseqr 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
147 funfvima2 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
148142, 146, 147syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16
149148imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15
150141, 149sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . . 14
151 intss1 4067 . . . . . . . . . . . . . 14
152 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . . . 14
153150, 151, 1523syl 19 . . . . . . . . . . . . 13
154153reximdva 2820 . . . . . . . . . . . 12
155140, 154sylbid 208 . . . . . . . . . . 11
156132, 155syl5bir 211 . . . . . . . . . 10
157130, 156syld 43 . . . . . . . . 9
158103sseq1d 3377 . . . . . . . . . . 11
159158rexbidva 2724 . . . . . . . . . 10
160159adantr 453 . . . . . . . . 9
161157, 160sylibrd 227 . . . . . . . 8
162161ralrimiva 2791 . . . . . . 7
163 nnex 10008 . . . . . . . . 9
164163mptex 5968 . . . . . . . 8
165 feq1 5578 . . . . . . . . 9
166 fveq1 5729 . . . . . . . . . . . 12
167166eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11
168 fveq1 5729 . . . . . . . . . . . 12
169168, 166sseq12d 3379 . . . . . . . . . . 11
170167, 169anbi12d 693 . . . . . . . . . 10
171170ralbidv 2727 . . . . . . . . 9
172166sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . 12
173172rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11
174173imbi2d 309 . . . . . . . . . 10
175174ralbidv 2727 . . . . . . . . 9
176165, 171, 1753anbi123d 1255 . . . . . . . 8
177164, 176spcev 3045 . . . . . . 7
17880, 122, 162, 177syl3anc 1185 . . . . . 6
179178expr 600 . . . . 5
180179adantrrl 706 . . . 4
181180exlimdv 1647 . . 3
18239, 181mpd 15 . 2
1832, 182rexlimddv 2836 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   w3a 937  wex 1551   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  crab 2711  cvv 2958   cin 3321   wss 3322  c0 3630  cpw 3801  cuni 4017  cint 4052   class class class wbr 4214   cmpt 4268  com 4847   cdm 4880   crn 4881   cres 4882  cima 4883   wfun 5450   wfn 5451  wf 5452  wfo 5454  cfv 5456  (class class class)co 6083   cen 7108   cdom 7109   csdm 7110  cfn 7111  c1 8993   caddc 8995  cn 10002  cfz 11045  ctop 16960  c1stc 17502 This theorem is referenced by:  1stcelcls  17526 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-top 16965  df-1stc 17504
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