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Theorem 1stcfb 17510
Description: For any point  A in a first-countable topology, there is a function  f : NN --> J enumerating neighborhoods of  A which is decreasing and forms a local base. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
1stcclb.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
1stcfb  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) )
Distinct variable groups:    f, k,
y, A    f, J, k, y    k, X, y
Allowed substitution hint:    X( f)

Proof of Theorem 1stcfb
Dummy variables  a 
g  n  w  x  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stcclb.1 . . 3  |-  X  = 
U. J
211stcclb 17509 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  E. x  e.  ~P  J ( x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
3 1stctop 17508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
43ad2antrr 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
51topopn 16981 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  X  e.  J )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  X  e.  J )
7 simprrr 743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
8 simplr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  A  e.  X )
9 eleq2 2499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  X ) )
10 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  X  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  X
) )
1110anbi2d 686 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  X  ->  (
( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) )
1211rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  X  ->  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) )
139, 12imbi12d 313 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  X  ->  (
( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( A  e.  X  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) ) )
1413rspcv 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  J  ->  ( A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  ->  ( A  e.  X  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) ) ) )
156, 7, 8, 14syl3c 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X ) )
16 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  w  /\  w  C_  X )  ->  A  e.  w )
1716reximi 2815 . . . . . . . 8  |-  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  X )  ->  E. w  e.  x  A  e.  w )
1815, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. w  e.  x  A  e.  w )
19 eleq2 2499 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  a  ->  ( A  e.  w  <->  A  e.  a ) )
2019cbvrexv 2935 . . . . . . 7  |-  ( E. w  e.  x  A  e.  w  <->  E. a  e.  x  A  e.  a )
2118, 20sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. a  e.  x  A  e.  a )
22 rabn0 3649 . . . . . 6  |-  ( { a  e.  x  |  A  e.  a }  =/=  (/)  <->  E. a  e.  x  A  e.  a )
2321, 22sylibr 205 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  =/=  (/) )
24 vex 2961 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
2524rabex 4356 . . . . . 6  |-  { a  e.  x  |  A  e.  a }  e.  _V
26250sdom 7240 . . . . 5  |-  ( (/)  ~<  { a  e.  x  |  A  e.  a } 
<->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  =/=  (/) )
2723, 26sylibr 205 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  (/)  ~<  { a  e.  x  |  A  e.  a } )
28 ssrab2 3430 . . . . . 6  |-  { a  e.  x  |  A  e.  a }  C_  x
29 ssdomg 7155 . . . . . 6  |-  ( x  e.  _V  ->  ( { a  e.  x  |  A  e.  a }  C_  x  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  x ) )
3024, 28, 29mp2 9 . . . . 5  |-  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  x
31 simprrl 742 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  x  ~<_  om )
32 nnenom 11321 . . . . . . 7  |-  NN  ~~  om
3332ensymi 7159 . . . . . 6  |-  om  ~~  NN
34 domentr 7168 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
3531, 33, 34sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  x  ~<_  NN )
36 domtr 7162 . . . . 5  |-  ( ( { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  x  /\  x  ~<_  NN )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  NN )
3730, 35, 36sylancr 646 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  NN )
38 fodomr 7260 . . . 4  |-  ( (
(/)  ~<  { a  e.  x  |  A  e.  a }  /\  {
a  e.  x  |  A  e.  a }  ~<_  NN )  ->  E. g 
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
3927, 37, 38syl2anc 644 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. g 
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
403ad3antrrr 712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  J  e.  Top )
41 imassrn 5218 . . . . . . . . . 10  |-  ( g
" ( 1 ... n ) )  C_  ran  g
42 forn 5658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  ran  g  =  { a  e.  x  |  A  e.  a } )
4342ad2antll 711 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  ran  g  =  {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
44 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  x  e.  ~P J
)
4544elpwid 3810 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  x  C_  J )
4628, 45syl5ss 3361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  { a  e.  x  |  A  e.  a }  C_  J )
4743, 46eqsstrd 3384 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  ran  g  C_  J )
4847adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ran  g  C_  J
)
4941, 48syl5ss 3361 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... n ) ) 
C_  J )
50 elfznn 11082 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  ( 1 ... n )  ->  k  e.  NN )
5150ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1 ... n )  C_  NN
52 fof 5655 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a } )
5352ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a } )
54 fdm 5597 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  dom  g  =  NN )
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  dom  g  =  NN )
5651, 55syl5sseqr 3399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( 1 ... n
)  C_  dom  g )
5756adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  C_  dom  g )
58 dfss1 3547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... n ) 
C_  dom  g  <->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n ) )  =  ( 1 ... n
) )
5957, 58sylib 190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =  ( 1 ... n ) )
60 elfz1end 11083 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( 1 ... n
) )
61 ne0i 3636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( 1 ... n )  ->  (
1 ... n )  =/=  (/) )
6261adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  ( 1 ... n ) )  ->  ( 1 ... n )  =/=  (/) )
6360, 62sylan2b 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  =/=  (/) )
6459, 63eqnetrd 2621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =/=  (/) )
65 imadisj 5225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g " ( 1 ... n ) )  =  (/)  <->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =  (/) )
6665necon3bii 2635 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g " ( 1 ... n ) )  =/=  (/)  <->  ( dom  g  i^i  ( 1 ... n
) )  =/=  (/) )
6764, 66sylibr 205 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... n ) )  =/=  (/) )
68 fzfid 11314 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1 ... n
)  e.  Fin )
69 ffun 5595 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : NN --> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  Fun  g )
7053, 69syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  Fun  g )
7170adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  Fun  g )
72 fores 5664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Fun  g  /\  (
1 ... n )  C_  dom  g )  ->  (
g  |`  ( 1 ... n ) ) : ( 1 ... n
) -onto-> ( g "
( 1 ... n
) ) )
7371, 57, 72syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -onto-> ( g
" ( 1 ... n ) ) )
74 fofi 7394 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1 ... n
)  e.  Fin  /\  ( g  |`  (
1 ... n ) ) : ( 1 ... n ) -onto-> ( g
" ( 1 ... n ) ) )  ->  ( g "
( 1 ... n
) )  e.  Fin )
7568, 73, 74syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... n ) )  e.  Fin )
76 fiinopn 16976 . . . . . . . . . 10  |-  ( J  e.  Top  ->  (
( ( g "
( 1 ... n
) )  C_  J  /\  ( g " (
1 ... n ) )  =/=  (/)  /\  ( g
" ( 1 ... n ) )  e. 
Fin )  ->  |^| (
g " ( 1 ... n ) )  e.  J ) )
7776imp 420 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ( g "
( 1 ... n
) )  C_  J  /\  ( g " (
1 ... n ) )  =/=  (/)  /\  ( g
" ( 1 ... n ) )  e. 
Fin ) )  ->  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J )
7840, 49, 67, 75, 77syl13anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... n
) )  e.  J
)
79 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) )
8078, 79fmptd 5895 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) : NN --> J )
81 imassrn 5218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g
" ( 1 ... k ) )  C_  ran  g
8243adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ran  g  =  {
a  e.  x  |  A  e.  a } )
8381, 82syl5sseq 3398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  { a  e.  x  |  A  e.  a } )
84 id 21 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  n  ->  A  e.  n )
8584rgenw 2775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  A. n  e.  x  ( A  e.  n  ->  A  e.  n )
86 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( a  =  n  ->  ( A  e.  a  <->  A  e.  n ) )
8786ralrab 3098 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. n  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } A  e.  n  <->  A. n  e.  x  ( A  e.  n  ->  A  e.  n ) )
8885, 87mpbir 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  A. n  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } A  e.  n
89 ssralv 3409 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g " ( 1 ... k ) ) 
C_  { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  ( A. n  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } A  e.  n  ->  A. n  e.  ( g " (
1 ... k ) ) A  e.  n ) )
9083, 88, 89ee10 1386 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) A  e.  n )
91 elintg 4060 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  |^| ( g
" ( 1 ... k ) )  <->  A. n  e.  ( g " (
1 ... k ) ) A  e.  n ) )
9291ad3antlr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  |^| ( g " (
1 ... k ) )  <->  A. n  e.  (
g " ( 1 ... k ) ) A  e.  n ) )
9390, 92mpbird 225 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  |^| (
g " ( 1 ... k ) ) )
94 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
9578ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. n  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J )
96 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  k  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... k
) )
9796imaeq2d 5205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  k  ->  (
g " ( 1 ... n ) )  =  ( g "
( 1 ... k
) ) )
9897inteqd 4057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  |^| (
g " ( 1 ... n ) )  =  |^| ( g
" ( 1 ... k ) ) )
9998eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  <->  |^| ( g
" ( 1 ... k ) )  e.  J ) )
10099rspccva 3053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  /\  k  e.  NN )  ->  |^| (
g " ( 1 ... k ) )  e.  J )
10195, 100sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  e.  J
)
10298, 79fvmptg 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  NN  /\  |^| ( g " (
1 ... k ) )  e.  J )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  |^| ( g " (
1 ... k ) ) )
10394, 101, 102syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  =  |^| ( g " (
1 ... k ) ) )
10493, 103eleqtrrd 2515 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) )
105 fzssp1 11097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ... k )  C_  ( 1 ... (
k  +  1 ) )
106 imass2 5242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1 ... k ) 
C_  ( 1 ... ( k  +  1 ) )  ->  (
g " ( 1 ... k ) ) 
C_  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) ) )
107105, 106mp1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) ) )
108 intss 4073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g " ( 1 ... k ) ) 
C_  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  ->  |^| (
g " ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ) 
C_  |^| ( g "
( 1 ... k
) ) )
109107, 108syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  C_  |^| (
g " ( 1 ... k ) ) )
110 peano2nn 10014 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
111110adantl 454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
112 oveq2 6091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1 ... n )  =  ( 1 ... (
k  +  1 ) ) )
113112imaeq2d 5205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
g " ( 1 ... n ) )  =  ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) ) )
114113inteqd 4057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  |^| (
g " ( 1 ... n ) )  =  |^| ( g
" ( 1 ... ( k  +  1 ) ) ) )
115114eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  <->  |^| ( g
" ( 1 ... ( k  +  1 ) ) )  e.  J ) )
116115rspccva 3053 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... n ) )  e.  J  /\  (
k  +  1 )  e.  NN )  ->  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) )  e.  J )
11795, 110, 116syl2an 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  |^| ( g "
( 1 ... (
k  +  1 ) ) )  e.  J
)
118114, 79fvmptg 5806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) )  e.  J )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) ) )
119111, 117, 118syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  |^| ( g " (
1 ... ( k  +  1 ) ) ) )
120109, 119, 1033sstr4d 3393 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  ( k  +  1 ) )  C_  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) )
121104, 120jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
122121ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. k  e.  NN  ( A  e.  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
123 simprlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
124 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( A  e.  z  <->  A  e.  y ) )
125 sseq2 3372 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  y
) )
126125anbi2d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
127126rexbidv 2728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  y  ->  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
128124, 127imbi12d 313 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  y  ->  (
( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( A  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) ) )
129128rspccva 3053 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
130123, 129sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) ) )
131 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  w  ->  ( A  e.  a  <->  A  e.  w ) )
132131rexrab 3100 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. w  e.  { a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y 
<->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y ) )
13343rexeqdv 2913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. w  e. 
ran  g  w  C_  y 
<->  E. w  e.  {
a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y )
)
134 fofn 5657 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  g  Fn  NN )
135134ad2antll 711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
g  Fn  NN )
136 sseq1 3371 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( g `  k )  ->  (
w  C_  y  <->  ( g `  k )  C_  y
) )
137136rexrn 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g  Fn  NN  ->  ( E. w  e.  ran  g  w  C_  y  <->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y
) )
138135, 137syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. w  e. 
ran  g  w  C_  y 
<->  E. k  e.  NN  ( g `  k
)  C_  y )
)
139133, 138bitr3d 248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. w  e. 
{ a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y  <->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y
) )
140139adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e. 
{ a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y  <->  E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y
) )
141 elfz1end 11083 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( 1 ... k
) )
14270adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  Fun  g )
143 elfznn 11082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
144143ssriv 3354 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1 ... k )  C_  NN
14555adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  dom  g  =  NN )
146144, 145syl5sseqr 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( 1 ... k
)  C_  dom  g )
147 funfvima2 5976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( Fun  g  /\  (
1 ... k )  C_  dom  g )  ->  (
k  e.  ( 1 ... k )  -> 
( g `  k
)  e.  ( g
" ( 1 ... k ) ) ) )
148142, 146, 147syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( k  e.  ( 1 ... k )  ->  ( g `  k )  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) ) )
149148imp 420 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  (
( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  /\  k  e.  (
1 ... k ) )  ->  ( g `  k )  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) )
150141, 149sylan2b 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  (
( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( g `  k )  e.  ( g " ( 1 ... k ) ) )
151 intss1 4067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g `  k )  e.  ( g "
( 1 ... k
) )  ->  |^| (
g " ( 1 ... k ) ) 
C_  ( g `  k ) )
152 sstr2 3357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  ( g `  k )  ->  (
( g `  k
)  C_  y  ->  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
153150, 151, 1523syl 19 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  (
( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( g `
 k )  C_  y  ->  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
154153reximdva 2820 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. k  e.  NN  ( g `  k )  C_  y  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
155140, 154sylbid 208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e. 
{ a  e.  x  |  A  e.  a } w  C_  y  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
156132, 155syl5bir 211 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  y )  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
157130, 156syld 43 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  |^| ( g " (
1 ... k ) ) 
C_  y ) )
158103sseq1d 3377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y  <->  |^| ( g
" ( 1 ... k ) )  C_  y ) )
159158rexbidva 2724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  -> 
( E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y  <->  E. k  e.  NN  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
160159adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y  <->  E. k  e.  NN  |^| ( g "
( 1 ... k
) )  C_  y
) )
161157, 160sylibrd 227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  X
)  /\  ( (
x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  /\  y  e.  J )  ->  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  C_  y
) )
162161ralrimiva 2791 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  C_  y
) )
163 nnex 10008 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
164163mptex 5968 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) )  e.  _V
165 feq1 5578 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( f : NN --> J 
<->  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) : NN --> J ) )
166 fveq1 5729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( f `  k
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) )
167166eleq2d 2505 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( A  e.  ( f `  k )  <-> 
A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
168 fveq1 5729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( f `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
169168, 166sseq12d 3379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )  <->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) )
170167, 169anbi12d 693 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  <->  ( A  e.  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  /\  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) ) )
171170ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  <->  A. k  e.  NN  ( A  e.  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) ) ) )
172166sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( f `  k )  C_  y  <->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) )
173172rexbidv 2728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y  <->  E. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) )
174173imbi2d 309 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
)  <->  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) ) )
175174ralbidv 2727 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
)  <->  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) ) `  k )  C_  y
) ) )
176165, 171, 1753anbi123d 1255 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( n  e.  NN  |->  |^| ( g "
( 1 ... n
) ) )  -> 
( ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
)  <->  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( (
n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) ) ) )
177164, 176spcev 3045 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( (
n  e.  NN  |->  |^| ( g " (
1 ... n ) ) ) `  k )  /\  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  |^| (
g " ( 1 ... n ) ) ) `  k ) 
C_  y ) )  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) )
17880, 122, 162, 177syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( ( x  e.  ~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  /\  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a } ) )  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) )
179178expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  (
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) ) )
180179adantrrl 706 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  (
g : NN -onto-> {
a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) ) )
181180exlimdv 1647 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  ( E. g  g : NN -onto-> { a  e.  x  |  A  e.  a }  ->  E. f ( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k )  /\  (
f `  ( k  +  1 ) ) 
C_  ( f `  k ) )  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k
)  C_  y )
) ) )
18239, 181mpd 15 . 2  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  /\  ( x  e. 
~P J  /\  (
x  ~<_  om  /\  A. z  e.  J  ( A  e.  z  ->  E. w  e.  x  ( A  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) )
1832, 182rexlimddv 2836 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  X )  ->  E. f
( f : NN --> J  /\  A. k  e.  NN  ( A  e.  ( f `  k
)  /\  ( f `  ( k  +  1 ) )  C_  (
f `  k )
)  /\  A. y  e.  J  ( A  e.  y  ->  E. k  e.  NN  ( f `  k )  C_  y
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   U.cuni 4017   |^|cint 4052   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   omcom 4847   dom cdm 4880   ran crn 4881    |` cres 4882   "cima 4883   Fun wfun 5450    Fn wfn 5451   -->wf 5452   -onto->wfo 5454   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    ~~ cen 7108    ~<_ cdom 7109    ~< csdm 7110   Fincfn 7111   1c1 8993    + caddc 8995   NNcn 10002   ...cfz 11045   Topctop 16960   1stcc1stc 17502
This theorem is referenced by:  1stcelcls  17526
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-top 16965  df-1stc 17504
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