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Theorem 1stckgenlem 17248
Description: The one-point compactification of  NN is compact. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
1stckgen.1  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
1stckgen.2  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
1stckgen.3  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
Assertion
Ref Expression
1stckgenlem  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e.  Comp )

Proof of Theorem 1stckgenlem
Dummy variables  j 
k  n  s  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
)
2 ssun2 3339 . . . . . . . . 9  |-  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } )
3 1stckgen.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
4 1stckgen.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F ( ~~> t `  J ) A )
5 lmcl 17025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F
( ~~> t `  J
) A )  ->  A  e.  X )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
7 snssg 3754 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  ( A  e.  ( ran  F  u.  { A }
)  <->  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } ) ) )
86, 7syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( A  e.  ( ran  F  u.  { A } )  <->  { A }  C_  ( ran  F  u.  { A } ) ) )
92, 8mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ( ran 
F  u.  { A } ) )
109adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  ( ran  F  u.  { A } ) )
111, 10sseldd 3181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  A  e.  U. u )
12 eluni2 3831 . . . . . 6  |-  ( A  e.  U. u  <->  E. w  e.  u  A  e.  w )
1311, 12sylib 188 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. w  e.  u  A  e.  w )
14 nnuz 10263 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
15 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  A  e.  w )
16 1z 10053 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
1716a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  1  e.  ZZ )
184ad2antrr 706 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  F
( ~~> t `  J
) A )
19 simplrl 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  u  e.  ~P J )
20 elpwi 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  ~P J  ->  u  C_  J )
2119, 20syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  u  C_  J )
22 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  w  e.  u )
2321, 22sseldd 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  w  e.  J )
2414, 15, 17, 18, 23lmcvg 16992 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w )
25 imassrn 5025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  ran  F
26 ssun1 3338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ran  F  C_  ( ran  F  u.  { A } )
2725, 26sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  ( ran  F  u.  { A } )
28 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u )
2927, 28syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. u )
30 1stckgen.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  F : NN --> X )
31 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : NN --> X  ->  ran  F  C_  X )
3230, 31syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  X
)
3325, 32syl5ss 3190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  X )
34 resttopon 16892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  X )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j ) ) ) )
353, 33, 34syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j
) ) ) )
36 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  (TopOn `  ( F " ( 1 ... j ) ) )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Top )
3735, 36syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Top )
38 fzfid 11035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( 1 ... j
)  e.  Fin )
39 ffun 5391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( F : NN --> X  ->  Fun  F )
4030, 39syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  Fun  F )
41 elfznn 10819 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  ->  n  e.  NN )
4241ssriv 3184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 1 ... j )  C_  NN
43 fdm 5393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( F : NN --> X  ->  dom  F  =  NN )
4430, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  dom  F  =  NN )
4542, 44syl5sseqr 3227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( 1 ... j
)  C_  dom  F )
46 fores 5460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( Fun  F  /\  (
1 ... j )  C_  dom  F )  ->  ( F  |`  ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j
) -onto-> ( F "
( 1 ... j
) ) )
4740, 45, 46syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( F  |`  (
1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F
" ( 1 ... j ) ) )
48 fofi 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1 ... j
)  e.  Fin  /\  ( F  |`  ( 1 ... j ) ) : ( 1 ... j ) -onto-> ( F
" ( 1 ... j ) ) )  ->  ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin )
4938, 47, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) )  e.  Fin )
50 pwfi 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( F " ( 1 ... j ) )  e.  Fin  <->  ~P ( F " ( 1 ... j ) )  e. 
Fin )
5149, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ~P ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin )
52 restsspw 13336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  C_  ~P ( F " ( 1 ... j ) )
53 ssfi 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ~P ( F "
( 1 ... j
) )  e.  Fin  /\  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  C_  ~P ( F " (
1 ... j ) ) )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Fin )
5451, 52, 53sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Fin )
55 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  ( Top 
i^i  Fin )  <->  ( ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Top  /\  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Fin ) )
5637, 54, 55sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e.  ( Top  i^i  Fin ) )
57 fincmp 17120 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Jt  ( F " (
1 ... j ) ) )  e.  ( Top 
i^i  Fin )  ->  ( Jt  ( F " ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp )
5856, 57syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( F "
( 1 ... j
) ) )  e. 
Comp )
59 topontop 16664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  J  e.  Top )
603, 59syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  J  e.  Top )
61 toponuni 16665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  X  =  U. J )
623, 61syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  X  =  U. J
)
6333, 62sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. J )
64 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  U. J  =  U. J
6564cmpsub 17127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( F " ( 1 ... j ) ) 
C_  U. J )  -> 
( ( Jt  ( F
" ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) ) )
6660, 63, 65syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( F
" ( 1 ... j ) ) )  e.  Comp  <->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) ) )
6758, 66mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  J ( ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6867r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
6929, 68syl5 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )
7069impr 602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s )
7170adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  E. s  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s
)
72 inss1 3389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ~P u  i^i  Fin )  C_ 
~P u
73 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
)
7472, 73sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  ~P u
)
75 elpwi 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  ~P u  -> 
s  C_  u )
7674, 75syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  C_  u )
77 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  w  e.  u
)
7877adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  w  e.  u )
7978snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  { w }  C_  u )
8076, 79unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  C_  u )
81 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  u  e. 
_V
8281elpw2 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ~P u 
<->  ( s  u.  {
w } )  C_  u )
8380, 82sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e. 
~P u )
84 inss2 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ~P u  i^i  Fin )  C_ 
Fin
8584, 73sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
s  e.  Fin )
86 snfi 6941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { w }  e.  Fin
87 unfi 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  { w }  e.  Fin )  ->  ( s  u. 
{ w } )  e.  Fin )
8885, 86, 87sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e. 
Fin )
89 elin 3358 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( s  u.  { w } )  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) 
<->  ( ( s  u. 
{ w } )  e.  ~P u  /\  ( s  u.  {
w } )  e. 
Fin ) )
9083, 88, 89sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( s  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) )
91 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F : NN --> X  ->  F  Fn  NN )
9230, 91syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F  Fn  NN )
9392ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  F  Fn  NN )
94 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w )
9594adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  j ) ( F `  k )  e.  w )
96 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
9796eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  w  <->  ( F `  n )  e.  w
) )
9897rspccva 2883 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j )
)  ->  ( F `  n )  e.  w
)
9995, 98sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  w )
100 elun2 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( F `  n )  e.  w  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )
10199, 100syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( ZZ>= `  j ) )  -> 
( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
102101adantlr 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) ) )  /\  (
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  /\  n  e.  (
ZZ>= `  j ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
103 elnnuz 10264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
104103anbi1i 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )
105 elfzuzb 10792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( 1 ... j )  <->  ( n  e.  ( ZZ>= `  1 )  /\  j  e.  ( ZZ>=
`  n ) ) )
106104, 105bitr4i 243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) )  <->  n  e.  ( 1 ... j
) )
107 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s )
108 funimass4 5573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( Fun  F  /\  (
1 ... j )  C_  dom  F )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j
) ( F `  n )  e.  U. s ) )
10940, 45, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ph  ->  ( ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s ) )
110109ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ( F "
( 1 ... j
) )  C_  U. s  <->  A. n  e.  ( 1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s ) )
111107, 110mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. n  e.  (
1 ... j ) ( F `  n )  e.  U. s )
112111r19.21bi 2641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( F `  n )  e.  U. s )
113 elun1 3342 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( F `  n )  e.  U. s  -> 
( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
114112, 113syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  ( 1 ... j ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
115106, 114sylan2b 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  ( n  e.  NN  /\  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
116115anassrs 629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  /\  (
( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) ) )  /\  (
s  e.  ( ~P u  i^i  Fin )  /\  ( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  /\  j  e.  (
ZZ>= `  n ) )  ->  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w
) )
117 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) )  ->  j  e.  NN )
118117ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
j  e.  NN )
119 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( j  e.  NN  ->  j  e.  ZZ )
120 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  ZZ )
121 uztric 10249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( j  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
122119, 120, 121syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( j  e.  NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
123118, 122sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( n  e.  (
ZZ>= `  j )  \/  j  e.  ( ZZ>= `  n ) ) )
124102, 116, 123mpjaodan 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( U. s  u.  w )
)
125124ralrimiva 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )
126 fnfvrnss 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  NN  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( U. s  u.  w ) )  ->  ran  F  C_  ( U. s  u.  w )
)
12793, 125, 126syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  ran  F  C_  ( U. s  u.  w )
)
128 elun2 3343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( A  e.  w  ->  A  e.  ( U. s  u.  w ) )
129128ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w
)  /\  ( j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w ) )  ->  A  e.  ( U. s  u.  w
) )
130129ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  A  e.  ( U. s  u.  w )
)
131130snssd 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  { A }  C_  ( U. s  u.  w
) )
132127, 131unssd 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ran  F  u.  { A } )  C_  ( U. s  u.  w
) )
133 uniun 3846 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  U. (
s  u.  { w } )  =  ( U. s  u.  U. { w } )
134 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  w  e. 
_V
135134unisn 3843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  U. {
w }  =  w
136135uneq2i 3326 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( U. s  u.  U. { w } )  =  ( U. s  u.  w
)
137133, 136eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  U. (
s  u.  { w } )  =  ( U. s  u.  w
)
138132, 137syl6sseqr 3225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  -> 
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. ( s  u.  {
w } ) )
139 unieq 3836 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  U. v  =  U. ( s  u.  {
w } ) )
140139sseq2d 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  ( s  u. 
{ w } )  ->  ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v  <->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. (
s  u.  { w } ) ) )
141140rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( s  u.  {
w } )  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. (
s  u.  { w } ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v )
14290, 138, 141syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  ( s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin )  /\  ( F " ( 1 ... j ) )  C_  U. s ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v )
143142expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  /\  s  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) )  ->  (
( F " (
1 ... j ) ) 
C_  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
144143rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  ( E. s  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( F
" ( 1 ... j ) )  C_  U. s  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
14571, 144mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( ( w  e.  u  /\  A  e.  w )  /\  (
j  e.  NN  /\  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w ) ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v )
146145anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w ) )  /\  ( j  e.  NN  /\ 
A. k  e.  (
ZZ>= `  j ) ( F `  k )  e.  w ) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v )
147146expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w ) )  /\  j  e.  NN )  ->  ( A. k  e.  ( ZZ>= `  j )
( F `  k
)  e.  w  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v ) )
148147rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  ( E. j  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  j ) ( F `
 k )  e.  w  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
14924, 148mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  ( w  e.  u  /\  A  e.  w
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
)
150149expr 598 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u ) )  /\  w  e.  u )  ->  ( A  e.  w  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) )
151150rexlimdva 2667 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  ( E. w  e.  u  A  e.  w  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin )
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. v ) )
15213, 151mpd 14 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  ~P J  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u
) )  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
)
153152expr 598 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  ~P J )  ->  (
( ran  F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i 
Fin ) ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. v
) )
154153ralrimiva 2626 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) )
1556snssd 3760 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { A }  C_  X )
15632, 155unssd 3351 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  X )
157156, 62sseqtrd 3214 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. J )
15864cmpsub 17127 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  ( ran  F  u.  { A } )  C_  U. J
)  ->  ( ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) ) )
15960, 157, 158syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Jt  ( ran 
F  u.  { A } ) )  e. 
Comp 
<-> 
A. u  e.  ~P  J ( ( ran 
F  u.  { A } )  C_  U. u  ->  E. v  e.  ( ~P u  i^i  Fin ) ( ran  F  u.  { A } ) 
C_  U. v ) ) )
160154, 159mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( Jt  ( ran  F  u.  { A } ) )  e.  Comp )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   dom cdm 4689   ran crn 4690    |` cres 4691   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   1c1 8738   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ...cfz 10782   ↾t crest 13325   Topctop 16631  TopOnctopon 16632   ~~> tclm 16956   Compccmp 17113
This theorem is referenced by:  1stckgen  17249
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-rest 13327  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-lm 16959  df-cmp 17114
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