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Theorem 1stcrest 17516
Description: A subspace of a first-countable space is first-countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
1stcrest  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  1stc )

Proof of Theorem 1stcrest
Dummy variables  t 
a  v  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stctop 17506 . . 3  |-  ( J  e.  1stc  ->  J  e. 
Top )
2 resttop 17224 . . 3  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
31, 2sylan 458 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  Top )
4 eqid 2436 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
54restuni2 17231 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
61, 5sylan 458 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( A  i^i  U. J )  =  U. ( Jt  A ) )
76eleq2d 2503 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  (
x  e.  ( A  i^i  U. J )  <-> 
x  e.  U. ( Jt  A ) ) )
87biimpar 472 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )
9 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  J  e.  1stc )
10 inss2 3562 . . . . . . 7  |-  ( A  i^i  U. J ) 
C_  U. J
1110sseli 3344 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  i^i  U. J )  ->  x  e.  U. J )
1241stcclb 17507 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  x  e.  U. J )  ->  E. t  e.  ~P  J ( t  ~<_  om 
/\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) )
139, 11, 12syl2an 464 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  E. t  e.  ~P  J ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) ) ) )
14 simplll 735 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  J  e.  1stc )
15 elpwi 3807 . . . . . . . . 9  |-  ( t  e.  ~P J  -> 
t  C_  J )
1615ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  t  C_  J )
17 ssrest 17240 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  t  C_  J )  ->  (
tt 
A )  C_  ( Jt  A ) )
1814, 16, 17syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  C_  ( Jt  A
) )
19 ovex 6106 . . . . . . . 8  |-  ( Jt  A )  e.  _V
2019elpw2 4364 . . . . . . 7  |-  ( ( tt  A )  e.  ~P ( Jt  A )  <->  ( tt  A
)  C_  ( Jt  A
) )
2118, 20sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  e.  ~P ( Jt  A ) )
22 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  t  e. 
_V
23 simpllr 736 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  A  e.  V )
24 restval 13654 . . . . . . . 8  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( tt  A )  =  ran  ( v  e.  t 
|->  ( v  i^i  A
) ) )
2522, 23, 24sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  =  ran  (
v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) ) )
26 simprrl 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  t  ~<_  om )
27 1stcrestlem 17515 . . . . . . . 8  |-  ( t  ~<_  om  ->  ran  ( v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) )  ~<_  om )
2826, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ran  ( v  e.  t  |->  ( v  i^i  A ) )  ~<_  om )
2925, 28eqbrtrd 4232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( tt  A
)  ~<_  om )
301ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  J  e.  Top )
31 elrest 13655 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
) ) )
3230, 23, 31syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  <->  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
) ) )
33 r19.29 2846 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) )  /\  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A ) )  ->  E. a  e.  J  ( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) ) )
34 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  ->  x  e.  A )
3534a1d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  x  e.  A
) )
3635ancld 537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) ) )
37 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  ( y  i^i 
A )  <->  ( x  e.  y  /\  x  e.  A ) )
3836, 37syl6ibr 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( x  e.  y  ->  x  e.  ( y  i^i  A ) ) )
39 ssrin 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y 
C_  a  ->  (
y  i^i  A )  C_  ( a  i^i  A
) )
4039a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( y  C_  a  ->  ( y  i^i  A
)  C_  ( a  i^i  A ) ) )
4138, 40anim12d 547 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  (
x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( y  i^i  A
)  C_  ( a  i^i  A ) ) ) )
4241reximdv 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
43 vex 2959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  y  e. 
_V
4443inex1 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  i^i  A )  e. 
_V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  /\  y  e.  t )  ->  ( y  i^i  A
)  e.  _V )
46 simp-4r 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  ->  A  e.  V )
47 elrest 13655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( t  e.  _V  /\  A  e.  V )  ->  ( w  e.  ( tt  A )  <->  E. y  e.  t  w  =  ( y  i^i  A
) ) )
4822, 46, 47sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( w  e.  ( tt  A )  <->  E. y  e.  t  w  =  ( y  i^i  A
) ) )
49 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
x  e.  w  <->  x  e.  ( y  i^i  A
) ) )
50 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
w  C_  ( a  i^i  A )  <->  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) )
5149, 50anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( w  =  ( y  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A ) )  <-> 
( x  e.  ( y  i^i  A )  /\  ( y  i^i 
A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5251adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  /\  w  =  ( y  i^i  A ) )  -> 
( ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) )  <->  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5345, 48, 52rexxfr2d 4740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) )  <->  E. y  e.  t  ( x  e.  ( y  i^i  A
)  /\  ( y  i^i  A )  C_  (
a  i^i  A )
) ) )
5442, 53sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  ( a  e.  J  /\  x  e.  A ) )  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
5554expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
x  e.  A  -> 
( E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
5655com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  ( E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
)  ->  ( x  e.  A  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
5756imim2d 50 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) )  ->  (
x  e.  a  -> 
( x  e.  A  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) ) )
5857imp4b 574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  /\  (
x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  -> 
( ( x  e.  a  /\  x  e.  A )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
59 eleq2 2497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  <->  x  e.  ( a  i^i  A
) ) )
60 elin 3530 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( a  i^i 
A )  <->  ( x  e.  a  /\  x  e.  A ) )
6159, 60syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  <->  ( x  e.  a  /\  x  e.  A ) ) )
62 sseq2 3370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
w  C_  z  <->  w  C_  (
a  i^i  A )
) )
6362anbi2d 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <-> 
( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A ) ) ) )
6463rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  ( E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) )
6561, 64imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( (
x  e.  a  /\  x  e.  A )  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  ( a  i^i  A
) ) ) ) )
6658, 65syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  /\  (
x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) )  -> 
( z  =  ( a  i^i  A )  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6766expimpd 587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J ) )  /\  t  e.  ~P J
)  /\  a  e.  J )  ->  (
( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6867rexlimdva 2830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( E. a  e.  J  ( ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  z  =  ( a  i^i  A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
6933, 68syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( ( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  /\  E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A ) )  -> 
( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7069exp3a 426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  t  e.  ~P J )  -> 
( A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a ) )  -> 
( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A )  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
7170impr 603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t  ( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) )  ->  ( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i  A
)  ->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7271adantrrl 705 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( E. a  e.  J  z  =  ( a  i^i 
A )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7332, 72sylbid 207 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  ( z  e.  ( Jt  A )  ->  (
x  e.  z  ->  E. w  e.  (
tt 
A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7473ralrimiv 2788 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
75 breq1 4215 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( y  ~<_  om  <->  ( tt  A )  ~<_  om )
)
76 rexeq 2905 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z )  <->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )
7776imbi2d 308 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7877ralbidv 2725 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) )  <->  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
7975, 78anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( tt  A )  ->  ( ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) )  <-> 
( ( tt  A )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
8079rspcev 3052 . . . . . 6  |-  ( ( ( tt  A )  e.  ~P ( Jt  A )  /\  (
( tt  A )  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  ( tt  A ) ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8121, 29, 74, 80syl12anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ( J  e. 
1stc  /\  A  e.  V
)  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  /\  (
t  e.  ~P J  /\  ( t  ~<_  om  /\  A. a  e.  J  ( x  e.  a  ->  E. y  e.  t 
( x  e.  y  /\  y  C_  a
) ) ) ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8213, 81rexlimddv 2834 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  ( A  i^i  U. J
) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
838, 82syldan 457 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  /\  x  e.  U. ( Jt  A ) )  ->  E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
8483ralrimiva 2789 . 2  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  A. x  e.  U. ( Jt  A ) E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) )
85 eqid 2436 . . 3  |-  U. ( Jt  A )  =  U. ( Jt  A )
8685is1stc2 17505 . 2  |-  ( ( Jt  A )  e.  1stc  <->  (
( Jt  A )  e.  Top  /\ 
A. x  e.  U. ( Jt  A ) E. y  e.  ~P  ( Jt  A ) ( y  ~<_  om  /\  A. z  e.  ( Jt  A ) ( x  e.  z  ->  E. w  e.  y  ( x  e.  w  /\  w  C_  z ) ) ) ) )
873, 84, 86sylanbrc 646 1  |-  ( ( J  e.  1stc  /\  A  e.  V )  ->  ( Jt  A )  e.  1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    i^i cin 3319    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   omcom 4845   ran crn 4879  (class class class)co 6081    ~<_ cdom 7107   ↾t crest 13648   Topctop 16958   1stcc1stc 17500
This theorem is referenced by:  lly1stc  17559
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-fin 7113  df-fi 7416  df-card 7826  df-acn 7829  df-rest 13650  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-1stc 17502
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