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Theorem 1stmbfm 23784
Description: The first projection map is measurable with regard to the product sigma algebra. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
1stmbfm  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S ) )

Proof of Theorem 1stmbfm
Dummy variables  z 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1stres 6183 . . . . 5  |-  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S
2 1stmbfm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 1stmbfm.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4 sxuni 23723 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
65feq2d 5417 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
) )
71, 6mpbii 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
)
8 unielsiga 23687 . . . . . 6  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. S  e.  S )
92, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
10 sxsiga 23721 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
112, 3, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 unielsiga 23687 . . . . . 6  |-  ( ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra 
->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
14 elmapg 6828 . . . . 5  |-  ( ( U. S  e.  S  /\  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S
) )
159, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. S ) )
167, 15mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) ) )
17 sgon 23683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
182, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
19 sigasspw 23675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  ->  S  C_  ~P U. S )
20 pwssb 4025 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( S 
C_  ~P U. S  <->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2120biimpi 186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S 
C_  ~P U. S  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2218, 19, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  a  C_  U. S )
2322r19.21bi 2675 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  C_ 
U. S )
24 xpss1 4832 . . . . . . . . . 10  |-  ( a 
C_  U. S  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2625sseld 3213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  ->  z  e.  ( U. S  X.  U. T ) ) )
2726pm4.71rd 616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) ) )
28 ffn 5427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. S  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T ) )
29 elpreima 5683 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T )  ->  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) "
a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) ) )
301, 28, 29mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) )
31 fvres 5580 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) `  z
)  =  ( 1st `  z ) )
3231eleq1d 2382 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
33 1st2nd2 6201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
34 xp2nd 6192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( 2nd `  z
)  e.  U. T
)
35 elxp6 6193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
36 anass 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  a  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T ) ) )
37 an32 773 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  a )  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3835, 36, 373bitr2i 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( a  X. 
U. T )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  /\  ( 1st `  z )  e.  a ) )
3938baib 871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 2nd `  z )  e.  U. T )  ->  (
z  e.  ( a  X.  U. T )  <-> 
( 1st `  z
)  e.  a ) )
4033, 34, 39syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( z  e.  ( a  X.  U. T
)  <->  ( 1st `  z
)  e.  a ) )
4132, 40bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4241pm5.32i 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4330, 42bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( a  X.  U. T ) ) )
4427, 43syl6rbbr 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  <->  z  e.  ( a  X.  U. T
) ) )
4544eqrdv 2314 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  =  ( a  X.  U. T ) )
462adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
473adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4846, 47jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra ) )
49 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
50 eqid 2316 . . . . . . . . . 10  |-  U. T  =  U. T
51 issgon 23682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  <-> 
( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T ) )
5251biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( T  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. T  =  U. T
)  ->  T  e.  (sigAlgebra `
 U. T ) )
533, 50, 52sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
54 baselsiga 23674 . . . . . . . . 9  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  ->  U. T  e.  T
)
5553, 54syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
5655adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  U. T  e.  T )
5749, 56jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  e.  S  /\  U. T  e.  T ) )
58 elsx 23724 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  /\  ( a  e.  S  /\  U. T  e.  T ) )  -> 
( a  X.  U. T )  e.  ( S ×s  T ) )
5948, 57, 58syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
a  X.  U. T
)  e.  ( S ×s  T ) )
6045, 59eqeltrd 2390 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
6160ralrimiva 2660 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
6216, 61jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) )
6311, 2ismbfm 23776 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S )  <-> 
( ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. S  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  S  ( `' ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) ) )
6462, 63mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( 1st  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM S ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   A.wral 2577    C_ wss 3186   ~Pcpw 3659   <.cop 3677   U.cuni 3864    X. cxp 4724   `'ccnv 4725   ran crn 4727    |` cres 4728   "cima 4729    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163    ^m cmap 6815  sigAlgebracsiga 23666   ×s csx 23718  MblFnMcmbfm 23774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-map 6817  df-siga 23667  df-sigagen 23698  df-sx 23719  df-mbfm 23775
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