MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1z Unicode version

Theorem 1z 10053
Description: One is an integer. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
1z  |-  1  e.  ZZ

Proof of Theorem 1z
StepHypRef Expression
1 1nn 9757 . 2  |-  1  e.  NN
21nnzi 10047 1  |-  1  e.  ZZ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684   1c1 8738   ZZcz 10024
This theorem is referenced by:  peano2z  10060  peano2zm  10062  peano5uzti  10101  nnuz  10263  eluz2b1  10289  uz2m1nn  10292  nninfm  10298  nnrecq  10339  qbtwnxr  10527  fz1n  10812  fz10  10814  fz01en  10818  fzprval  10844  fztpval  10845  fseq1p1m1  10857  elfzm1b  10860  fzm1  10862  fzoss2  10897  fzofzp1  10916  fzostep1  10922  flge1nn  10949  modnegd  11004  fzennn  11030  fzen2  11031  sermono  11078  seqf1olem2  11086  ser1const  11102  exp1  11109  zexpcl  11118  qexpcl  11119  qexpclz  11124  m1expcl  11126  expp1z  11150  expm1  11151  facnn  11290  fac0  11291  fac1  11292  bcn1  11325  bcp1nk  11329  bcpasc  11333  hashsng  11356  hashfz  11381  fz1isolem  11399  seqcoll  11401  climuni  12026  isercoll  12141  isercoll2  12142  iseraltlem1  12154  sum0  12194  sumsn  12213  fsumtscopo  12260  fsumparts  12264  binomlem  12287  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  climcnds  12310  divcnv  12312  supcvg  12314  arisum  12318  trireciplem  12320  trirecip  12321  expcnv  12322  geo2sum  12329  geo2lim  12331  geoisum1  12335  geoisum1c  12336  mertenslem1  12340  mertenslem2  12341  ege2le3  12371  sin01gt0  12470  rpnnen2lem10  12502  rpnnen2  12504  nthruc  12529  iddvds  12542  1dvds  12543  dvdsle  12574  dvds1  12577  3dvds  12591  divalglem5  12596  divalg  12602  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  bitscmp  12629  bitsinv1lem  12632  gcdcllem1  12690  gcdcllem3  12692  gcdaddmlem  12707  gcdadd  12709  gcdid  12710  gcd1  12711  1gcd  12716  bezoutlem1  12717  gcdmultiple  12729  isprm3  12767  phicl2  12836  phi1  12841  dfphi2  12842  hashdvds  12843  phiprmpw  12844  eulerthlem2  12850  prmdiv  12853  prmdiveq  12854  odzcllem  12857  odzdvds  12860  odzphi  12861  oddprm  12868  pythagtriplem4  12872  iserodd  12888  pcpre1  12895  pc1  12908  pcrec  12911  pcid  12925  pcmptcl  12939  pcmpt  12940  fldivp1  12945  expnprm  12950  pockthlem  12952  unbenlem  12955  prmreclem2  12964  prmreclem4  12966  prmreclem6  12968  prmrec  12969  igz  12981  4sqlem12  13003  4sqlem13  13004  4sqlem19  13010  vdwapun  13021  vdwlem8  13035  vdwlem13  13040  prmlem0  13107  1259lem4  13132  2503lem2  13136  4001lem1  13139  mulg1  14574  mulgm1  14586  mulgp1  14593  mulgneg2  14594  mulgpropd  14600  cycsubgcl  14643  odinv  14874  sylow1lem1  14909  sylow3lem6  14943  efgs1b  15045  lt6abl  15181  pgpfac1lem2  15310  qsubdrg  16424  zsubrg  16425  gzsubrg  16426  zcyg  16445  mulgrhm  16460  mulgrhm2  16461  chrnzr  16484  znunit  16517  znrrg  16519  frgpcyg  16527  lmcnp  17032  lmmo  17108  1stcelcls  17187  1stccnp  17188  1stckgenlem  17248  1stckgen  17249  zfbas  17591  imasdsf1olem  17937  clmvneg1  18589  clmmulg  18591  lmnn  18689  cmetcaulem  18714  iscmet2  18720  causs  18724  caubl  18733  iscmet3i  18737  bcthlem5  18750  ovolsf  18832  ovolctb  18849  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856  ovoliunlem1  18861  ovoliun  18864  ovoliun2  18865  ovoliunnul  18866  ovolicc1  18875  ovolicc2lem2  18877  ovolicc2lem3  18878  ovolicc2lem4  18879  voliunlem1  18907  voliunlem2  18908  voliunlem3  18909  volsup  18913  ioombl1lem4  18918  uniioombllem2  18938  uniioombllem3  18940  uniioombllem6  18943  vitalilem4  18966  vitalilem5  18967  itg1climres  19069  mbfi1fseqlem6  19075  mbfi1flimlem  19077  mbfmullem2  19079  itg2monolem1  19105  itg2i1fseq  19110  itg2i1fseq2  19111  itg2addlem  19113  plyeq0lem  19592  dvply1  19664  vieta1lem2  19691  elqaalem2  19700  qaa  19703  iaa  19705  dvtaylp  19749  dvradcnv  19797  pserdvlem2  19804  pserdv2  19806  abelthlem6  19812  abelthlem9  19816  sin2pim  19853  cos2pim  19854  efif1olem2  19905  advlogexp  20002  logtayl  20007  logtaylsum  20008  logtayl2  20009  ang180lem3  20109  1cubrlem  20137  atantayl  20233  leibpilem2  20237  leibpi  20238  birthdaylem2  20247  dfef2  20265  divsqrsumlem  20274  emcllem4  20292  emcllem5  20293  emcllem6  20294  emcllem7  20295  wilthlem1  20306  wilthlem2  20307  wilthlem3  20308  basellem6  20323  basellem7  20324  basellem8  20325  basellem9  20326  muf  20378  ppip1le  20399  ppi1  20402  cht1  20403  chp1  20405  cht2  20410  ppieq0  20414  ppiub  20443  chpeq0  20447  chpchtsum  20458  chpub  20459  logfacbnd3  20462  logexprlim  20464  mersenne  20466  perfectlem1  20468  perfectlem2  20469  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem5  20527  bposlem6  20528  lgslem1  20535  lgslem2  20536  lgsfcl2  20541  lgsval2lem  20545  lgsdir2lem1  20562  lgsdir2lem3  20564  lgsdir2lem4  20565  lgsdir2lem5  20566  lgsqrlem1  20580  lgsdchr  20587  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem4  20591  lgsquad2lem1  20597  lgsquad3  20600  m1lgs  20601  2sqlem9  20612  2sqlem10  20613  2sqlem11  20614  2sqblem  20616  2sqb  20617  dchrisumlema  20637  dchrisumlem3  20640  dchrmusum2  20643  dchrvmasumiflem1  20650  dchrvmaeq0  20653  dchrisum0re  20662  dchrisum0lem1b  20664  dchrisum0lem2a  20666  logdivsum  20682  log2sumbnd  20693  pntrlog2bndlem1  20726  pntpbnd2  20736  qabvle  20774  ostth3  20787  ex-fl  20834  gx1  20929  gxm1  20935  nvlmle  21265  ipval2  21280  minvecolem3  21455  minvecolem4b  21457  minvecolem4  21459  h2hcau  21559  h2hlm  21560  hlimadd  21772  hlim0  21815  hhsscms  21856  occllem  21882  nlelchi  22641  opsqrlem2  22721  opsqrlem4  22723  hmopidmchi  22731  fzspl  23030  fzsplit3  23031  ballotlem2  23047  ballotlemfp1  23050  ballotlemfc0  23051  ballotlemfcc  23052  ballotlemimin  23064  ballotlemic  23065  ballotlem1c  23066  ballotlemsdom  23070  ballotlemsel1i  23071  ballotlemsima  23074  ballotlemfrci  23086  ballotlemfrceq  23087  ballotlemfrcn0  23088  iuninc  23158  lmlim  23371  rge0scvg  23373  lmxrge0  23375  lmdvg  23376  gsumpropd2lem  23379  rnlogblem  23401  logblt  23408  esumpcvgval  23446  esumcvg  23454  dya2ub  23575  dstfrvclim1  23678  zetacvg  23689  subfac1  23709  subfacp1lem1  23710  subfacp1lem2a  23711  subfacp1lem5  23715  subfacp1lem6  23716  cvmliftlem10  23825  eupap1  23900  eupath2lem3  23903  sinccvg  24006  circum  24007  elfzp1b  24012  fznatpl1  24093  bcnm1  24096  axlowdimlem3  24572  axlowdimlem4  24573  axlowdimlem6  24575  axlowdimlem7  24576  axlowdimlem16  24585  axlowdimlem17  24586  axlowdim  24589  bpolydiflem  24789  cntrset  25602  1iskle  25989  clscnc  26010  phckle  26027  psckle  26028  intset  26044  fnckle  26045  fdc  26455  lmclim2  26474  geomcau  26475  heibor1lem  26533  heibor1  26534  bfplem1  26546  bfplem2  26547  rrncmslem  26556  rrncms  26557  mapfzcons  26793  mzpexpmpt  26823  fzsplit1nn0  26833  eldioph2lem1  26839  eldioph3b  26844  fz1eqin  26848  diophin  26852  diophun  26853  0dioph  26858  elnnrabdioph  26888  rabren3dioph  26898  irrapxlem1  26907  irrapxlem3  26909  pellexlem6  26919  rmspecnonsq  26992  rmxyadd  27006  rmxy1  27007  rmxy0  27008  rmxp1  27017  rmyp1  27018  rmxm1  27019  rmym1  27020  jm2.24nn  27046  acongeq  27070  jm2.22  27088  jm2.23  27089  jm2.25  27092  jm2.15nn0  27096  jm2.16nn0  27097  jm2.27c  27100  jm2.27dlem2  27103  rmydioph  27107  rmxdioph  27109  expdiophlem2  27115  expdioph  27116  mpaaeu  27355  sumsnd  27697  fmuldfeq  27713  fmul01lt1lem2  27715  fmul01lt1  27716  clim1fr1  27727  stoweidlem3  27752  stoweidlem7  27756  stoweidlem11  27760  stoweidlem14  27763  stoweidlem20  27769  stoweidlem26  27775  stoweidlem34  27783  stoweidlem51  27800  wallispilem4  27817  wallispilem5  27818  wallispi  27819  wallispi2lem1  27820  wallispi2lem2  27821  stirlinglem1  27823  stirlinglem5  27827  stirlinglem7  27829  stirlinglem8  27830  stirlinglem11  27833  stirlinglem12  27834  stirlinglem13  27835  stirlinglem14  27836  stirlinglem15  27837  stirlingr  27839  f1oun2prg  28076  s2f1o  28091  usgraex1elv  28129  usgraexmpldifpr  28132  usgraexmpl  28133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-z 10025
  Copyright terms: Public domain W3C validator