MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  23prm Unicode version

Theorem 23prm 13217
Description: 23 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
23prm  |- ; 2 3  e.  Prime

Proof of Theorem 23prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 10074 . . 3  |-  2  e.  NN0
2 3nn 9970 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10229 . 2  |- ; 2 3  e.  NN
4 2nn 9969 . . 3  |-  2  e.  NN
5 3nn0 10075 . . 3  |-  3  e.  NN0
6 1nn0 10073 . . 3  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10022 . . 3  |-  1  <  10
84, 5, 6, 7declti 10241 . 2  |-  1  < ; 2
3
94nncni 9846 . . . 4  |-  2  e.  CC
109mulid2i 8930 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
11 df-3 9895 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
121, 6, 10, 11dec2dvds 13175 . 2  |-  -.  2  || ; 2 3
13 7nn0 10079 . . 3  |-  7  e.  NN0
1413nn0cni 10069 . . . . 5  |-  7  e.  CC
152nncni 9846 . . . . 5  |-  3  e.  CC
16 7t3e21 10299 . . . . 5  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
1714, 15, 16mulcomli 8934 . . . 4  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
18 ax-1cn 8885 . . . . 5  |-  1  e.  CC
19 2p1e3 9939 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
209, 18, 19addcomli 9094 . . . 4  |-  ( 1  +  2 )  =  3
211, 6, 1, 17, 20decaddi 10260 . . 3  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
22 2lt3 9979 . . 3  |-  2  <  3
232, 13, 4, 21, 22ndvdsi 12706 . 2  |-  -.  3  || ; 2 3
24 5nn 9972 . . 3  |-  5  e.  NN
25 3lt5 9985 . . 3  |-  3  <  5
261, 5, 24, 25declt 10237 . 2  |- ; 2 3  < ; 2 5
273, 8, 12, 23, 26prmlem1 13206 1  |- ; 2 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1710  (class class class)co 5945   1c1 8828    x. cmul 8832   2c2 9885   3c3 9886   5c5 9888   7c7 9890  ;cdc 10216   Primecprime 12855
This theorem is referenced by:  bpos1  20634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-4 9896  df-5 9897  df-6 9898  df-7 9899  df-8 9900  df-9 9901  df-10 9902  df-n0 10058  df-z 10117  df-dec 10217  df-uz 10323  df-rp 10447  df-fz 10875  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-dvds 12629  df-prm 12856
  Copyright terms: Public domain W3C validator