MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  23prm Structured version   Unicode version

Theorem 23prm 13472
Description: 23 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
23prm  |- ; 2 3  e.  Prime

Proof of Theorem 23prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 10269 . . 3  |-  2  e.  NN0
2 3nn 10165 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10426 . 2  |- ; 2 3  e.  NN
4 2nn 10164 . . 3  |-  2  e.  NN
5 3nn0 10270 . . 3  |-  3  e.  NN0
6 1nn0 10268 . . 3  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10217 . . 3  |-  1  <  10
84, 5, 6, 7declti 10438 . 2  |-  1  < ; 2
3
94nncni 10041 . . . 4  |-  2  e.  CC
109mulid2i 9124 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
11 df-3 10090 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
121, 6, 10, 11dec2dvds 13430 . 2  |-  -.  2  || ; 2 3
13 7nn0 10274 . . 3  |-  7  e.  NN0
1413nn0cni 10264 . . . . 5  |-  7  e.  CC
152nncni 10041 . . . . 5  |-  3  e.  CC
16 7t3e21 10496 . . . . 5  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
1714, 15, 16mulcomli 9128 . . . 4  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
18 ax-1cn 9079 . . . . 5  |-  1  e.  CC
19 2p1e3 10134 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
209, 18, 19addcomli 9289 . . . 4  |-  ( 1  +  2 )  =  3
211, 6, 1, 17, 20decaddi 10457 . . 3  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
22 2lt3 10174 . . 3  |-  2  <  3
232, 13, 4, 21, 22ndvdsi 12961 . 2  |-  -.  3  || ; 2 3
24 5nn 10167 . . 3  |-  5  e.  NN
25 3lt5 10180 . . 3  |-  3  <  5
261, 5, 24, 25declt 10434 . 2  |- ; 2 3  < ; 2 5
273, 8, 12, 23, 26prmlem1 13461 1  |- ; 2 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1727  (class class class)co 6110   1c1 9022    x. cmul 9026   2c2 10080   3c3 10081   5c5 10083   7c7 10085  ;cdc 10413   Primecprime 13110
This theorem is referenced by:  bpos1  21098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098  ax-pre-sup 9099
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-pss 3322  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-tp 3846  df-op 3847  df-uni 4040  df-int 4075  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-tr 4328  df-eprel 4523  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-fr 4570  df-we 4572  df-ord 4613  df-on 4614  df-lim 4615  df-suc 4616  df-om 4875  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-recs 6662  df-rdg 6697  df-1o 6753  df-2o 6754  df-oadd 6757  df-er 6934  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-fin 7142  df-sup 7475  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-nn 10032  df-2 10089  df-3 10090  df-4 10091  df-5 10092  df-6 10093  df-7 10094  df-8 10095  df-9 10096  df-10 10097  df-n0 10253  df-z 10314  df-dec 10414  df-uz 10520  df-rp 10644  df-fz 11075  df-seq 11355  df-exp 11414  df-cj 11935  df-re 11936  df-im 11937  df-sqr 12071  df-abs 12072  df-dvds 12884  df-prm 13111
  Copyright terms: Public domain W3C validator