MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  23prm Unicode version

Theorem 23prm 13396
Description: 23 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
23prm  |- ; 2 3  e.  Prime

Proof of Theorem 23prm
StepHypRef Expression
1 2nn0 10194 . . 3  |-  2  e.  NN0
2 3nn 10090 . . 3  |-  3  e.  NN
31, 2decnncl 10351 . 2  |- ; 2 3  e.  NN
4 2nn 10089 . . 3  |-  2  e.  NN
5 3nn0 10195 . . 3  |-  3  e.  NN0
6 1nn0 10193 . . 3  |-  1  e.  NN0
7 1lt10 10142 . . 3  |-  1  <  10
84, 5, 6, 7declti 10363 . 2  |-  1  < ; 2
3
94nncni 9966 . . . 4  |-  2  e.  CC
109mulid2i 9049 . . 3  |-  ( 1  x.  2 )  =  2
11 df-3 10015 . . 3  |-  3  =  ( 2  +  1 )
121, 6, 10, 11dec2dvds 13354 . 2  |-  -.  2  || ; 2 3
13 7nn0 10199 . . 3  |-  7  e.  NN0
1413nn0cni 10189 . . . . 5  |-  7  e.  CC
152nncni 9966 . . . . 5  |-  3  e.  CC
16 7t3e21 10421 . . . . 5  |-  ( 7  x.  3 )  = ; 2
1
1714, 15, 16mulcomli 9053 . . . 4  |-  ( 3  x.  7 )  = ; 2
1
18 ax-1cn 9004 . . . . 5  |-  1  e.  CC
19 2p1e3 10059 . . . . 5  |-  ( 2  +  1 )  =  3
209, 18, 19addcomli 9214 . . . 4  |-  ( 1  +  2 )  =  3
211, 6, 1, 17, 20decaddi 10382 . . 3  |-  ( ( 3  x.  7 )  +  2 )  = ; 2
3
22 2lt3 10099 . . 3  |-  2  <  3
232, 13, 4, 21, 22ndvdsi 12885 . 2  |-  -.  3  || ; 2 3
24 5nn 10092 . . 3  |-  5  e.  NN
25 3lt5 10105 . . 3  |-  3  <  5
261, 5, 24, 25declt 10359 . 2  |- ; 2 3  < ; 2 5
273, 8, 12, 23, 26prmlem1 13385 1  |- ; 2 3  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1721  (class class class)co 6040   1c1 8947    x. cmul 8951   2c2 10005   3c3 10006   5c5 10008   7c7 10010  ;cdc 10338   Primecprime 13034
This theorem is referenced by:  bpos1  21020
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-prm 13035
  Copyright terms: Public domain W3C validator