MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Unicode version

Theorem 2503prm 13138
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 13125 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 9981 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 9883 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 10137 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 9982 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 9985 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 10138 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 9980 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 10138 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 9847 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2283 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 10147 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2306 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 5868 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 9988 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 10138 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 9983 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 10138 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 9989 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2283 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 9986 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 10138 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2283 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2283 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 9987 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2283 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6nn 9881 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
2928nncni 9756 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
30 ax-1cn 8795 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
31 6p1e7 9851 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3229, 30, 31addcomli 9004 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3326dec0h 10140 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3432, 33eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3530mulid1i 8839 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3630addid2i 9000 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3735, 36oveq12i 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
38 1p1e2 9840 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3937, 38eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
403nncni 9756 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4140mulid1i 8839 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4241oveq1i 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
43 8p7e15 10184 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4442, 43eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
452, 16, 9, 26, 27, 34, 2, 7, 2, 39, 44decmac 10163 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4622dec0h 10140 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
47 3cn 9818 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4847mulid2i 8840 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4947addid2i 9000 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
5048, 49oveq12i 5870 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
51 3p3e6 9856 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5250, 51eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
53 4nn0 9984 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
54 8t3e24 10213 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
55 4cn 9820 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
56 6p4e10 9866 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5729, 55, 56addcomli 9004 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
586, 53, 22, 54, 11, 57decaddci2 10170 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
592, 16, 9, 22, 27, 46, 18, 9, 18, 52, 58decmac 10163 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
602, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 45, 59decma2c 10164 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
61 9nn 9884 . . . . . . . . . 10  |-  9  e.  NN
6261nncni 9756 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6362mulid2i 8840 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6463oveq1i 5868 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
65 9p7e16 10191 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6664, 65eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
67 9t8e72 10225 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6862, 40, 67mulcomli 8844 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6920, 2, 16, 27, 6, 26, 66, 68decmul1c 10171 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
7017, 19, 20, 21, 6, 23, 60, 69decmul2c 10172 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
7110, 6deccl 10138 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7271nn0cni 9977 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
73 pncan 9057 . . . . 5  |-  ( (;;; 2 5 0 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 2 5 0 2 )
7472, 30, 73mp2an 653 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7570, 74eqtr4i 2306 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7615, 75eqtr4i 2306 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7710, 18deccl 10138 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
785, 77eqeltri 2353 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7978nn0cni 9977 . . . 4  |-  N  e.  CC
80 npcan 9060 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
8179, 30, 80mp2an 653 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
8281eqcomi 2287 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
83 1nn 9757 . 2  |-  1  e.  NN
84 2nn 9877 . 2  |-  2  e.  NN
8519, 20deccl 10138 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8685numexp1 13092 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8786oveq2i 5869 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8876, 87eqtr4i 2306 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
89 8lt10 9923 . . . 4  |-  8  <  10
90 1lt10 9930 . . . . 5  |-  1  <  10
9183, 18, 2, 90declti 10149 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
922, 19, 16, 20, 89, 91decltc 10146 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9392, 86breqtrri 4048 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9452503lem2 13136 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9552503lem3 13137 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
961, 4, 76, 82, 4, 83, 84, 88, 93, 94, 95pockthi 12954 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1623    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    - cmin 9037   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   5c5 9798   6c6 9799   7c7 9800   8c8 9801   9c9 9802   10c10 9803   NN0cn0 9965  ;cdc 10124   ^cexp 11104   Primecprime 12758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-odz 12833  df-phi 12834  df-pc 12890
  Copyright terms: Public domain W3C validator