MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503prm Unicode version

Theorem 2503prm 13154
Description: 2503 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
Assertion
Ref Expression
2503prm  |-  N  e. 
Prime

Proof of Theorem 2503prm
StepHypRef Expression
1 139prm 13141 . 2  |- ;; 1 3 9  e.  Prime
2 1nn0 9997 . . 3  |-  1  e.  NN0
3 8nn 9899 . . 3  |-  8  e.  NN
42, 3decnncl 10153 . 2  |- ; 1 8  e.  NN
5 2503prm.1 . . . . 5  |-  N  = ;;; 2 5 0 3
6 2nn0 9998 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
7 5nn0 10001 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
86, 7deccl 10154 . . . . . . 7  |- ; 2 5  e.  NN0
9 0nn0 9996 . . . . . . 7  |-  0  e.  NN0
108, 9deccl 10154 . . . . . 6  |- ;; 2 5 0  e.  NN0
11 2p1e3 9863 . . . . . 6  |-  ( 2  +  1 )  =  3
12 eqid 2296 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  = ;;; 2 5 0 2
1310, 6, 11, 12decsuc 10163 . . . . 5  |-  (;;; 2 5 0 2  +  1 )  = ;;; 2 5 0 3
145, 13eqtr4i 2319 . . . 4  |-  N  =  (;;; 2 5 0 2  +  1 )
1514oveq1i 5884 . . 3  |-  ( N  -  1 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
16 8nn0 10004 . . . . . 6  |-  8  e.  NN0
172, 16deccl 10154 . . . . 5  |- ; 1 8  e.  NN0
18 3nn0 9999 . . . . . 6  |-  3  e.  NN0
192, 18deccl 10154 . . . . 5  |- ; 1 3  e.  NN0
20 9nn0 10005 . . . . 5  |-  9  e.  NN0
21 eqid 2296 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  = ;; 1 3 9
22 6nn0 10002 . . . . . 6  |-  6  e.  NN0
232, 22deccl 10154 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  NN0
24 eqid 2296 . . . . . 6  |- ; 1 3  = ; 1 3
25 eqid 2296 . . . . . 6  |- ; 1 6  = ; 1 6
26 7nn0 10003 . . . . . . 7  |-  7  e.  NN0
27 eqid 2296 . . . . . . 7  |- ; 1 8  = ; 1 8
28 6nn 9897 . . . . . . . . . 10  |-  6  e.  NN
2928nncni 9772 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  CC
30 ax-1cn 8811 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  CC
31 6p1e7 9867 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  1 )  =  7
3229, 30, 31addcomli 9020 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  6 )  =  7
3326dec0h 10156 . . . . . . . 8  |-  7  = ; 0 7
3432, 33eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  6 )  = ; 0
7
3530mulid1i 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  1 )  =  1
3630addid2i 9016 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  1 )  =  1
3735, 36oveq12i 5886 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  ( 1  +  1 )
38 1p1e2 9856 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3937, 38eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  1 )  +  ( 0  +  1 ) )  =  2
403nncni 9772 . . . . . . . . . 10  |-  8  e.  CC
4140mulid1i 8855 . . . . . . . . 9  |-  ( 8  x.  1 )  =  8
4241oveq1i 5884 . . . . . . . 8  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  =  ( 8  +  7 )
43 8p7e15 10200 . . . . . . . 8  |-  ( 8  +  7 )  = ; 1
5
4442, 43eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  1 )  +  7 )  = ; 1
5
452, 16, 9, 26, 27, 34, 2, 7, 2, 39, 44decmac 10179 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  1 )  +  ( 1  +  6 ) )  = ; 2
5
4622dec0h 10156 . . . . . . 7  |-  6  = ; 0 6
47 3cn 9834 . . . . . . . . . 10  |-  3  e.  CC
4847mulid2i 8856 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  x.  3 )  =  3
4947addid2i 9016 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  3 )  =  3
5048, 49oveq12i 5886 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  ( 3  +  3 )
51 3p3e6 9872 . . . . . . . 8  |-  ( 3  +  3 )  =  6
5250, 51eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  3 )  +  ( 0  +  3 ) )  =  6
53 4nn0 10000 . . . . . . . 8  |-  4  e.  NN0
54 8t3e24 10229 . . . . . . . 8  |-  ( 8  x.  3 )  = ; 2
4
55 4cn 9836 . . . . . . . . 9  |-  4  e.  CC
56 6p4e10 9882 . . . . . . . . 9  |-  ( 6  +  4 )  =  10
5729, 55, 56addcomli 9020 . . . . . . . 8  |-  ( 4  +  6 )  =  10
586, 53, 22, 54, 11, 57decaddci2 10186 . . . . . . 7  |-  ( ( 8  x.  3 )  +  6 )  = ; 3
0
592, 16, 9, 22, 27, 46, 18, 9, 18, 52, 58decmac 10179 . . . . . 6  |-  ( (; 1
8  x.  3 )  +  6 )  = ; 6
0
602, 18, 2, 22, 24, 25, 17, 9, 22, 45, 59decma2c 10180 . . . . 5  |-  ( (; 1
8  x. ; 1 3 )  + ; 1
6 )  = ;; 2 5 0
61 9nn 9900 . . . . . . . . . 10  |-  9  e.  NN
6261nncni 9772 . . . . . . . . 9  |-  9  e.  CC
6362mulid2i 8856 . . . . . . . 8  |-  ( 1  x.  9 )  =  9
6463oveq1i 5884 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  =  ( 9  +  7 )
65 9p7e16 10207 . . . . . . 7  |-  ( 9  +  7 )  = ; 1
6
6664, 65eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( ( 1  x.  9 )  +  7 )  = ; 1
6
67 9t8e72 10241 . . . . . . 7  |-  ( 9  x.  8 )  = ; 7
2
6862, 40, 67mulcomli 8860 . . . . . 6  |-  ( 8  x.  9 )  = ; 7
2
6920, 2, 16, 27, 6, 26, 66, 68decmul1c 10187 . . . . 5  |-  (; 1 8  x.  9 )  = ;; 1 6 2
7017, 19, 20, 21, 6, 23, 60, 69decmul2c 10188 . . . 4  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  = ;;; 2 5 0 2
7110, 6deccl 10154 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 2  e.  NN0
7271nn0cni 9993 . . . . 5  |- ;;; 2 5 0 2  e.  CC
73 pncan 9073 . . . . 5  |-  ( (;;; 2 5 0 2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
(;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )  = ;;; 2 5 0 2 )
7472, 30, 73mp2an 653 . . . 4  |-  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  -  1 )  = ;;; 2 5 0 2
7570, 74eqtr4i 2319 . . 3  |-  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )  =  ( (;;; 2 5 0 2  +  1 )  - 
1 )
7615, 75eqtr4i 2319 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
7710, 18deccl 10154 . . . . . 6  |- ;;; 2 5 0 3  e.  NN0
785, 77eqeltri 2366 . . . . 5  |-  N  e. 
NN0
7978nn0cni 9993 . . . 4  |-  N  e.  CC
80 npcan 9076 . . . 4  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
8179, 30, 80mp2an 653 . . 3  |-  ( ( N  -  1 )  +  1 )  =  N
8281eqcomi 2300 . 2  |-  N  =  ( ( N  - 
1 )  +  1 )
83 1nn 9773 . 2  |-  1  e.  NN
84 2nn 9893 . 2  |-  2  e.  NN
8519, 20deccl 10154 . . . . 5  |- ;; 1 3 9  e.  NN0
8685numexp1 13108 . . . 4  |-  (;; 1 3 9 ^ 1 )  = ;; 1 3 9
8786oveq2i 5885 . . 3  |-  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )  =  (; 1 8  x. ;; 1 3 9 )
8876, 87eqtr4i 2319 . 2  |-  ( N  -  1 )  =  (; 1 8  x.  (;; 1 3 9 ^ 1 ) )
89 8lt10 9939 . . . 4  |-  8  <  10
90 1lt10 9946 . . . . 5  |-  1  <  10
9183, 18, 2, 90declti 10165 . . . 4  |-  1  < ; 1
3
922, 19, 16, 20, 89, 91decltc 10162 . . 3  |- ; 1 8  < ;; 1 3 9
9392, 86breqtrri 4064 . 2  |- ; 1 8  <  (;; 1 3 9 ^ 1 )
9452503lem2 13152 . 2  |-  ( ( 2 ^ ( N  -  1 ) )  mod  N )  =  ( 1  mod  N
)
9552503lem3 13153 . 2  |-  ( ( ( 2 ^; 1 8 )  - 
1 )  gcd  N
)  =  1
961, 4, 76, 82, 4, 83, 84, 88, 93, 94, 95pockthi 12970 1  |-  N  e. 
Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632    e. wcel 1696  (class class class)co 5874   CCcc 8751   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    - cmin 9053   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   7c7 9816   8c8 9817   9c9 9818   10c10 9819   NN0cn0 9981  ;cdc 10140   ^cexp 11120   Primecprime 12774
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-odz 12849  df-phi 12850  df-pc 12906
  Copyright terms: Public domain W3C validator