Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelpln Unicode version

Theorem 2atnelpln 29658
Description: The join of two atoms is not a lattice plane. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atnelpln.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2atnelpln.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2atnelpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
2atnelpln  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  -.  ( Q  .\/  R )  e.  P )

Proof of Theorem 2atnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 29478 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
213ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
3 eqid 2387 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 2atnelpln.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 2atnelpln.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
63, 4, 5hlatjcl 29481 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2387 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
83, 7latref 14409 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  R ) ( le `  K ) ( Q  .\/  R
) )
92, 6, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
) ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) )
10 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  K  e.  HL )
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  P )
12 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  Q  e.  A
)
13 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  R  e.  A
)
14 2atnelpln.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
157, 4, 5, 14lplnnle2at 29655 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( Q  .\/  R )  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  ->  -.  ( Q  .\/  R ) ( le `  K ) ( Q  .\/  R
) )
1610, 11, 12, 13, 15syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  -.  ( Q  .\/  R ) ( le
`  K ) ( Q  .\/  R ) )
1716ex 424 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( ( Q  .\/  R )  e.  P  ->  -.  ( Q  .\/  R
) ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
189, 17mt2d 111 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  -.  ( Q  .\/  R )  e.  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   joincjn 14328   Latclat 14401   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   LPlanesclpl 29606
This theorem is referenced by:  islpln2a  29662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613
  Copyright terms: Public domain W3C validator