Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelpln Unicode version

Theorem 2atnelpln 29733
Description: The join of two atoms is not a lattice plane. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atnelpln.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2atnelpln.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2atnelpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
2atnelpln  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  -.  ( Q  .\/  R )  e.  P )

Proof of Theorem 2atnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 29553 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
213ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
3 eqid 2283 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 2atnelpln.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 2atnelpln.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
63, 4, 5hlatjcl 29556 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2283 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
83, 7latref 14159 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  R ) ( le `  K ) ( Q  .\/  R
) )
92, 6, 8syl2anc 642 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
) ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) )
10 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  K  e.  HL )
11 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  P )
12 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  Q  e.  A
)
13 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  R  e.  A
)
14 2atnelpln.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
157, 4, 5, 14lplnnle2at 29730 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( Q  .\/  R )  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  ->  -.  ( Q  .\/  R ) ( le `  K ) ( Q  .\/  R
) )
1610, 11, 12, 13, 15syl13anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  -.  ( Q  .\/  R ) ( le
`  K ) ( Q  .\/  R ) )
1716ex 423 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( ( Q  .\/  R )  e.  P  ->  -.  ( Q  .\/  R
) ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
189, 17mt2d 109 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  -.  ( Q  .\/  R )  e.  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LPlanesclpl 29681
This theorem is referenced by:  islpln2a  29737
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688
  Copyright terms: Public domain W3C validator