Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2atnelpln Structured version   Unicode version

Theorem 2atnelpln 30268
Description: The join of two atoms is not a lattice plane. (Contributed by NM, 16-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2atnelpln.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2atnelpln.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2atnelpln.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
2atnelpln  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  -.  ( Q  .\/  R )  e.  P )

Proof of Theorem 2atnelpln
StepHypRef Expression
1 hllat 30088 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
213ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
3 eqid 2435 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 2atnelpln.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
5 2atnelpln.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
63, 4, 5hlatjcl 30091 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
)  e.  ( Base `  K ) )
7 eqid 2435 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
83, 7latref 14474 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  R )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( Q  .\/  R ) ( le `  K ) ( Q  .\/  R
) )
92, 6, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( Q  .\/  R
) ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) )
10 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  K  e.  HL )
11 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  ( Q  .\/  R )  e.  P )
12 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  Q  e.  A
)
13 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  R  e.  A
)
14 2atnelpln.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
157, 4, 5, 14lplnnle2at 30265 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( Q  .\/  R )  e.  P  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )
)  ->  -.  ( Q  .\/  R ) ( le `  K ) ( Q  .\/  R
) )
1610, 11, 12, 13, 15syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  /\  ( Q  .\/  R
)  e.  P )  ->  -.  ( Q  .\/  R ) ( le
`  K ) ( Q  .\/  R ) )
1716ex 424 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( ( Q  .\/  R )  e.  P  ->  -.  ( Q  .\/  R
) ( le `  K ) ( Q 
.\/  R ) ) )
189, 17mt2d 111 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  -.  ( Q  .\/  R )  e.  P )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   Latclat 14466   Atomscatm 29988   HLchlt 30075   LPlanesclpl 30216
This theorem is referenced by:  islpln2a  30272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076  df-llines 30222  df-lplanes 30223
  Copyright terms: Public domain W3C validator