MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2basgen Unicode version

Theorem 2basgen 16784
Description: Conditions that determine the equality of two generated topologies. (Contributed by NM, 8-May-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
2basgen  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  =  ( topGen `  C )
)

Proof of Theorem 2basgen
StepHypRef Expression
1 fvex 5577 . . . . 5  |-  ( topGen `  B )  e.  _V
21ssex 4195 . . . 4  |-  ( C 
C_  ( topGen `  B
)  ->  C  e.  _V )
32adantl 452 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  C  e.  _V )
4 simpl 443 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  C_  C )
5 tgss 16762 . . 3  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  C_  C )  -> 
( topGen `  B )  C_  ( topGen `  C )
)
63, 4, 5syl2anc 642 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  C_  ( topGen `  C )
)
7 simpr 447 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  C  C_  ( topGen `  B )
)
8 ssexg 4197 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  e.  _V )  ->  B  e.  _V )
92, 8sylan2 460 . . . 4  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  B  e.  _V )
10 tgss3 16780 . . . 4  |-  ( ( C  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( topGen `  C
)  C_  ( topGen `  B )  <->  C  C_  ( topGen `
 B ) ) )
113, 9, 10syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  (
( topGen `  C )  C_  ( topGen `  B )  <->  C 
C_  ( topGen `  B
) ) )
127, 11mpbird 223 . 2  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 C )  C_  ( topGen `  B )
)
136, 12eqssd 3230 1  |-  ( ( B  C_  C  /\  C  C_  ( topGen `  B
) )  ->  ( topGen `
 B )  =  ( topGen `  C )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701   _Vcvv 2822    C_ wss 3186   ` cfv 5292   topGenctg 13391
This theorem is referenced by:  leordtval2  16998  2ndcsb  17231  txbasval  17357  prdsxmslem2  18127  tgioo  18354  tgqioo  18358
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fv 5300  df-topgen 13393
  Copyright terms: Public domain W3C validator