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Theorem 2elfz2melfz 28128
Description: If the sum of two integers of a finite set of sequential nonnegative integers is greater than the upper bound, the difference between one of the integers and the difference between the upper bound and the other integer is in the finite set of sequential nonnegative integers right bounded by the first integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 7-Apr-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 31-May-2018.)
Assertion
Ref Expression
2elfz2melfz  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) ) )

Proof of Theorem 2elfz2melfz
StepHypRef Expression
1 elfzelz 11061 . . . . 5  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  ZZ )
2 elfzel2 11059 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
3 elfzelz 11061 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  e.  ZZ )
4 simplr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
5 zsubcl 10321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A
)  e.  ZZ )
65adantlr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  A )  e.  ZZ )
74, 6zsubcld 10382 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( B  -  ( N  -  A
) )  e.  ZZ )
87adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ZZ )
9 zre 10288 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
109ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
11 zaddcl 10319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  ZZ )
1211zred 10377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
1312expcom 426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
1413adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  +  B
)  e.  RR ) )
1514imp 420 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
1610, 15, 10ltsub1d 9637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  <->  ( N  -  N )  <  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
17 zre 10288 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
189, 17anim12i 551 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )
19 zre 10288 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2018, 19anim12i 551 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR ) )
21 id 21 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  RR  ->  N  e.  RR )
2221, 21resubcld 9467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  RR  ->  ( N  -  N )  e.  RR )
2322ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( N  -  N )  e.  RR )
24 readdcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
2524expcom 426 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  B )  e.  RR ) )
2625adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  e.  RR  ->  ( A  +  B
)  e.  RR ) )
2726imp 420 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( A  +  B )  e.  RR )
28 simpll 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  N  e.  RR )
2927, 28resubcld 9467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( A  +  B )  -  N )  e.  RR )
3023, 29jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( N  -  N )  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  -  N )  e.  RR ) )
31 ltle 9165 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  -  N
)  e.  RR  /\  ( ( A  +  B )  -  N
)  e.  RR )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  ( N  -  N )  <_  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
3220, 30, 313syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  ( N  -  N )  <_  (
( A  +  B
)  -  N ) ) )
33 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
3433subidd 9401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  N )  =  0 )
3534ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  -  N )  =  0 )
36 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
3736adantl 454 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
3837adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  B  e.  CC )
3933ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  N  e.  CC )
40 zcn 10289 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
4140adantl 454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
42 simp3 960 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  A  e.  CC )
43 simp1 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  B  e.  CC )
4442, 43addcomd 9270 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( A  +  B )  =  ( B  +  A ) )
4544oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( ( B  +  A )  -  N ) )
46 subsub3 9335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  =  ( ( B  +  A )  -  N
) )
4745, 46eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  CC  /\  N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  (
( A  +  B
)  -  N )  =  ( B  -  ( N  -  A
) ) )
4838, 39, 41, 47syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  +  B )  -  N )  =  ( B  -  ( N  -  A ) ) )
4935, 48breq12d 4227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  <_ 
( ( A  +  B )  -  N
)  <->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5032, 49sylibd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  N )  < 
( ( A  +  B )  -  N
)  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5116, 50sylbid 208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A ) ) ) )
5251imp 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  0  <_  ( B  -  ( N  -  A )
) )
53 elnn0z 10296 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  NN0  <->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( B  -  ( N  -  A )
) ) )
548, 52, 53sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  e.  ZZ )  /\  N  <  ( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 )
5554exp31 589 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( A  +  B )  ->  ( B  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
) )
562, 3, 55syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  ( A  e.  ZZ  ->  ( N  <  ( A  +  B )  -> 
( B  -  ( N  -  A )
)  e.  NN0 )
) )
571, 56mpan9 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 ) )
5857imp 420 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0 )
59 elfznn0 11085 . . . 4  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  NN0 )
6059ad2antrr 708 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  A  e.  NN0 )
61 elfzle2 11063 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  <_  N )
6261adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  <_  N
)
63 elfzel2 11059 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ZZ )
6463zcnd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  CC )
651zcnd 10378 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  CC )
6664, 65jca 520 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )
6766adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC ) )
68 npcan 9316 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( N  -  A )  +  A
)  =  N )
6967, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( N  -  A )  +  A )  =  N )
7062, 69breqtrrd 4240 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  <_  (
( N  -  A
)  +  A ) )
713zred 10377 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 ... N )  ->  B  e.  RR )
7271adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  B  e.  RR )
7363zred 10377 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  RR )
741zred 10377 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  A  e.  RR )
7573, 74resubcld 9467 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
7675adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  -  A )  e.  RR )
7774adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  A  e.  RR )
7872, 76, 77lesubadd2d 9627 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  <_  A 
<->  B  <_  ( ( N  -  A )  +  A ) ) )
7970, 78mpbird 225 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( B  -  ( N  -  A
) )  <_  A
)
8079adantr 453 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  <_  A )
81 elfz2nn0 11084 . . 3  |-  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A )  <->  ( ( B  -  ( N  -  A ) )  e. 
NN0  /\  A  e.  NN0 
/\  ( B  -  ( N  -  A
) )  <_  A
) )
8258, 60, 80, 81syl3anbrc 1139 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  /\  N  < 
( A  +  B
) )  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) )
8382ex 425 1  |-  ( ( A  e.  ( 0 ... N )  /\  B  e.  ( 0 ... N ) )  ->  ( N  < 
( A  +  B
)  ->  ( B  -  ( N  -  A ) )  e.  ( 0 ... A
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214  (class class class)co 6083   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992    + caddc 8995    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ...cfz 11045
This theorem is referenced by:  2cshw2lem1  28274  2cshw2lem2  28275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046
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