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Theorem 2eu3 2225
Description: Double existential uniqueness. (Contributed by NM, 3-Dec-2001.)
Assertion
Ref Expression
2eu3  |-  ( A. x A. y ( E* x ph  \/  E* y ph )  ->  (
( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) ) )

Proof of Theorem 2eu3
StepHypRef Expression
1 nfmo1 2154 . . . . 5  |-  F/ y E* y ph
2119.31 1812 . . . 4  |-  ( A. y ( E* x ph  \/  E* y ph ) 
<->  ( A. y E* x ph  \/  E* y ph ) )
32albii 1553 . . 3  |-  ( A. x A. y ( E* x ph  \/  E* y ph )  <->  A. x
( A. y E* x ph  \/  E* y ph ) )
4 nfmo1 2154 . . . . 5  |-  F/ x E* x ph
54nfal 1766 . . . 4  |-  F/ x A. y E* x ph
6519.32 1811 . . 3  |-  ( A. x ( A. y E* x ph  \/  E* y ph )  <->  ( A. y E* x ph  \/  A. x E* y ph ) )
73, 6bitri 240 . 2  |-  ( A. x A. y ( E* x ph  \/  E* y ph )  <->  ( A. y E* x ph  \/  A. x E* y ph ) )
8 2eu1 2223 . . . . . . 7  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( E! y E! x ph 
<->  ( E! y E. x ph  /\  E! x E. y ph )
) )
98biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( E! y E! x ph  ->  ( E! y E. x ph  /\  E! x E. y ph ) ) )
10 ancom 437 . . . . . 6  |-  ( ( E! y E. x ph  /\  E! x E. y ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) )
119, 10syl6ib 217 . . . . 5  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( E! y E! x ph  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
1211adantld 453 . . . 4  |-  ( A. y E* x ph  ->  ( ( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
13 2eu1 2223 . . . . . 6  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph 
<->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
1413biimpd 198 . . . . 5  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( E! x E! y
ph  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
1514adantrd 454 . . . 4  |-  ( A. x E* y ph  ->  ( ( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
1612, 15jaoi 368 . . 3  |-  ( ( A. y E* x ph  \/  A. x E* y ph )  -> 
( ( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  ->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )
) )
17 2exeu 2220 . . . 4  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! x E! y ph )
18 2exeu 2220 . . . . 5  |-  ( ( E! y E. x ph  /\  E! x E. y ph )  ->  E! y E! x ph )
1918ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  ->  E! y E! x ph )
2017, 19jca 518 . . 3  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  -> 
( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )
)
2116, 20impbid1 194 . 2  |-  ( ( A. y E* x ph  \/  A. x E* y ph )  -> 
( ( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) ) )
227, 21sylbi 187 1  |-  ( A. x A. y ( E* x ph  \/  E* y ph )  ->  (
( E! x E! y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528   E!weu 2143   E*wmo 2144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148
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