MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2eu8 Unicode version

Theorem 2eu8 2327
Description: Two equivalent expressions for double existential uniqueness. Curiously, we can put  E! on either of the internal conjuncts but not both. We can also commute  E! x E! y using 2eu7 2326. (Contributed by NM, 20-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
2eu8  |-  ( E! x E! y ( E. x ph  /\  E. y ph )  <->  E! x E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) )

Proof of Theorem 2eu8
StepHypRef Expression
1 2eu2 2321 . . 3  |-  ( E! x E. y ph  ->  ( E! y E! x ph  <->  E! y E. x ph ) )
21pm5.32i 619 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph ) )
3 nfeu1 2250 . . . . 5  |-  F/ x E! x ph
43nfeu 2256 . . . 4  |-  F/ x E! y E! x ph
54euan 2297 . . 3  |-  ( E! x ( E! y E! x ph  /\  E. y ph )  <->  ( E! y E! x ph  /\  E! x E. y ph ) )
6 ancom 438 . . . . . 6  |-  ( ( E! x ph  /\  E. y ph )  <->  ( E. y ph  /\  E! x ph ) )
76eubii 2249 . . . . 5  |-  ( E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) 
<->  E! y ( E. y ph  /\  E! x ph ) )
8 nfe1 1739 . . . . . 6  |-  F/ y E. y ph
98euan 2297 . . . . 5  |-  ( E! y ( E. y ph  /\  E! x ph ) 
<->  ( E. y ph  /\  E! y E! x ph ) )
10 ancom 438 . . . . 5  |-  ( ( E. y ph  /\  E! y E! x ph ) 
<->  ( E! y E! x ph  /\  E. y ph ) )
117, 9, 103bitri 263 . . . 4  |-  ( E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) 
<->  ( E! y E! x ph  /\  E. y ph ) )
1211eubii 2249 . . 3  |-  ( E! x E! y ( E! x ph  /\  E. y ph )  <->  E! x
( E! y E! x ph  /\  E. y ph ) )
13 ancom 438 . . 3  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  ( E! y E! x ph  /\  E! x E. y ph ) )
145, 12, 133bitr4ri 270 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E! x ph )  <->  E! x E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) )
15 2eu7 2326 . 2  |-  ( ( E! x E. y ph  /\  E! y E. x ph )  <->  E! x E! y ( E. x ph  /\  E. y ph ) )
162, 14, 153bitr3ri 268 1  |-  ( E! x E! y ( E. x ph  /\  E. y ph )  <->  E! x E! y ( E! x ph  /\  E. y ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547   E!weu 2240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245
  Copyright terms: Public domain W3C validator