MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp8 Unicode version

Theorem 2exp8 13118
Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp8  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6

Proof of Theorem 2exp8
StepHypRef Expression
1 2nn0 9998 . 2  |-  2  e.  NN0
2 4nn0 10000 . 2  |-  4  e.  NN0
32nn0cni 9993 . . 3  |-  4  e.  CC
4 2cn 9832 . . 3  |-  2  e.  CC
5 4t2e8 9890 . . 3  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
63, 4, 5mulcomli 8860 . 2  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
7 2exp4 13116 . 2  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
8 1nn0 9997 . . . 4  |-  1  e.  NN0
9 6nn0 10002 . . . 4  |-  6  e.  NN0
108, 9deccl 10154 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN0
11 eqid 2296 . . 3  |- ; 1 6  = ; 1 6
12 9nn0 10005 . . 3  |-  9  e.  NN0
1310nn0cni 9993 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  CC
1413mulid1i 8855 . . . 4  |-  (; 1 6  x.  1 )  = ; 1 6
15 1p1e2 9856 . . . 4  |-  ( 1  +  1 )  =  2
16 5nn0 10001 . . . 4  |-  5  e.  NN0
17 9nn 9900 . . . . . 6  |-  9  e.  NN
1817nncni 9772 . . . . 5  |-  9  e.  CC
19 6nn 9897 . . . . . 6  |-  6  e.  NN
2019nncni 9772 . . . . 5  |-  6  e.  CC
21 9p6e15 10206 . . . . 5  |-  ( 9  +  6 )  = ; 1
5
2218, 20, 21addcomli 9020 . . . 4  |-  ( 6  +  9 )  = ; 1
5
238, 9, 12, 14, 15, 16, 22decaddci 10185 . . 3  |-  ( (; 1
6  x.  1 )  +  9 )  = ; 2
5
24 3nn0 9999 . . . 4  |-  3  e.  NN0
2520mulid2i 8856 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
2625oveq1i 5884 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  3 )  =  ( 6  +  3 )
27 6p3e9 9881 . . . . 5  |-  ( 6  +  3 )  =  9
2826, 27eqtri 2316 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  3 )  =  9
29 6t6e36 10221 . . . 4  |-  ( 6  x.  6 )  = ; 3
6
309, 8, 9, 11, 9, 24, 28, 29decmul1c 10187 . . 3  |-  (; 1 6  x.  6 )  = ; 9 6
3110, 8, 9, 11, 9, 12, 23, 30decmul2c 10188 . 2  |-  (; 1 6  x. ; 1 6 )  = ;; 2 5 6
321, 2, 6, 7, 31numexp2x 13110 1  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1632  (class class class)co 5874   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   5c5 9814   6c6 9815   8c8 9817   9c9 9818  ;cdc 10140   ^cexp 11120
This theorem is referenced by:  2exp16  13119  2503lem1  13151  quart1lem  20167  quart1  20168
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-seq 11063  df-exp 11121
  Copyright terms: Public domain W3C validator