MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2exp8 Structured version   Unicode version

Theorem 2exp8 13415
Description: Two to the eighth power is 256. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2exp8  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6

Proof of Theorem 2exp8
StepHypRef Expression
1 2nn0 10230 . 2  |-  2  e.  NN0
2 4nn0 10232 . 2  |-  4  e.  NN0
32nn0cni 10225 . . 3  |-  4  e.  CC
4 2cn 10062 . . 3  |-  2  e.  CC
5 4t2e8 10122 . . 3  |-  ( 4  x.  2 )  =  8
63, 4, 5mulcomli 9089 . 2  |-  ( 2  x.  4 )  =  8
7 2exp4 13413 . 2  |-  ( 2 ^ 4 )  = ; 1
6
8 1nn0 10229 . . . 4  |-  1  e.  NN0
9 6nn0 10234 . . . 4  |-  6  e.  NN0
108, 9deccl 10388 . . 3  |- ; 1 6  e.  NN0
11 eqid 2435 . . 3  |- ; 1 6  = ; 1 6
12 9nn0 10237 . . 3  |-  9  e.  NN0
1310nn0cni 10225 . . . . 5  |- ; 1 6  e.  CC
1413mulid1i 9084 . . . 4  |-  (; 1 6  x.  1 )  = ; 1 6
15 1p1e2 10086 . . . 4  |-  ( 1  +  1 )  =  2
16 5nn0 10233 . . . 4  |-  5  e.  NN0
17 9nn 10132 . . . . . 6  |-  9  e.  NN
1817nncni 10002 . . . . 5  |-  9  e.  CC
19 6nn 10129 . . . . . 6  |-  6  e.  NN
2019nncni 10002 . . . . 5  |-  6  e.  CC
21 9p6e15 10440 . . . . 5  |-  ( 9  +  6 )  = ; 1
5
2218, 20, 21addcomli 9250 . . . 4  |-  ( 6  +  9 )  = ; 1
5
238, 9, 12, 14, 15, 16, 22decaddci 10419 . . 3  |-  ( (; 1
6  x.  1 )  +  9 )  = ; 2
5
24 3nn0 10231 . . . 4  |-  3  e.  NN0
2520mulid2i 9085 . . . . . 6  |-  ( 1  x.  6 )  =  6
2625oveq1i 6083 . . . . 5  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  3 )  =  ( 6  +  3 )
27 6p3e9 10113 . . . . 5  |-  ( 6  +  3 )  =  9
2826, 27eqtri 2455 . . . 4  |-  ( ( 1  x.  6 )  +  3 )  =  9
29 6t6e36 10455 . . . 4  |-  ( 6  x.  6 )  = ; 3
6
309, 8, 9, 11, 9, 24, 28, 29decmul1c 10421 . . 3  |-  (; 1 6  x.  6 )  = ; 9 6
3110, 8, 9, 11, 9, 12, 23, 30decmul2c 10422 . 2  |-  (; 1 6  x. ; 1 6 )  = ;; 2 5 6
321, 2, 6, 7, 31numexp2x 13407 1  |-  ( 2 ^ 8 )  = ;; 2 5 6
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1652  (class class class)co 6073   1c1 8983    + caddc 8985    x. cmul 8987   2c2 10041   3c3 10042   4c4 10043   5c5 10044   6c6 10045   8c8 10047   9c9 10048  ;cdc 10374   ^cexp 11374
This theorem is referenced by:  2exp16  13416  2503lem1  13448  quart1lem  20687  quart1  20688
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-seq 11316  df-exp 11375
  Copyright terms: Public domain W3C validator