MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2halves Unicode version

Theorem 2halves 9940
Description: Two halves make a whole. (Contributed by NM, 11-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
2halves  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  /  2
)  +  ( A  /  2 ) )  =  A )

Proof of Theorem 2halves
StepHypRef Expression
1 2times 9843 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  A )  =  ( A  +  A ) )
21oveq1d 5873 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  /  2 )  =  ( ( A  +  A )  / 
2 ) )
3 2cn 9816 . . 3  |-  2  e.  CC
4 2ne0 9829 . . 3  |-  2  =/=  0
5 divcan3 9448 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  A
)  /  2 )  =  A )
63, 4, 5mp3an23 1269 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( 2  x.  A
)  /  2 )  =  A )
73, 4pm3.2i 441 . . . 4  |-  ( 2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )
8 divdir 9447 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC  /\  (
2  e.  CC  /\  2  =/=  0 ) )  ->  ( ( A  +  A )  / 
2 )  =  ( ( A  /  2
)  +  ( A  /  2 ) ) )
97, 8mp3an3 1266 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( ( A  +  A )  /  2
)  =  ( ( A  /  2 )  +  ( A  / 
2 ) ) )
109anidms 626 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  +  A
)  /  2 )  =  ( ( A  /  2 )  +  ( A  /  2
) ) )
112, 6, 103eqtr3rd 2324 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( A  /  2
)  +  ( A  /  2 ) )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446  (class class class)co 5858   CCcc 8735   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    / cdiv 9423   2c2 9795
This theorem is referenced by:  halfpos  9942  lt2halves  9946  2halvesd  9957  geo2sum  12329  pcoass  18522  aaliou3lem3  19724  sincosq2sgn  19867  sincosq3sgn  19868  cosq14gt0  19878  cosq14ge0  19879  sincos4thpi  19881  efeq1  19891  cosne0  19892  sinord  19896  resinf1o  19898  logimul  19968  cxpsqr  20050  dvsqr  20084  ang180lem3  20109  acosneg  20183  acoscos  20189  acosbnd  20196  atanlogsublem  20211  subfacval3  23720  areacirc  24931
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-riota 6304  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-2 9804
  Copyright terms: Public domain W3C validator