Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmat Unicode version

Theorem 2llnmat 30335
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2llnmat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2llnmat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2llnmat.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
Assertion
Ref Expression
2llnmat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)

Proof of Theorem 2llnmat
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  HL )
2 hlatl 30172 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
31, 2syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  AtLat
)
4 hllat 30175 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  K  e.  Lat )
6 simpl2 959 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  X  e.  N )
7 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 2llnmat.n . . . . . . 7  |-  N  =  ( LLines `  K )
97, 8llnbase 30320 . . . . . 6  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
106, 9syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  X  e.  ( Base `  K )
)
11 simpl3 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  Y  e.  N )
127, 8llnbase 30320 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  Y  e.  ( Base `  K )
)
14 2llnmat.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
157, 14latmcl 14173 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
165, 10, 13, 15syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  (
Base `  K )
)
17 simprr 733 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  )
18 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
19 2llnmat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
20 2llnmat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
217, 18, 19, 20atlex 30128 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )
223, 16, 17, 21syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
23 simp1rl 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  =/=  Y
)
24 simp1l 979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N ) )
2518, 8llncmp 30333 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
X  =  Y ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  X  =  Y
) )
27 simp1l1 1048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  HL )
2827, 4syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
29 simp1l2 1049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  e.  N
)
3029, 9syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  X  e.  (
Base `  K )
)
31 simp1l3 1050 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  Y  e.  N
)
3231, 12syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  Y  e.  (
Base `  K )
)
337, 18, 14latleeqm1 14201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
3428, 30, 32, 33syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X ( le `  K ) Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3526, 34bitr3d 246 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  =  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3635necon3bid 2494 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  =/= 
Y  <->  ( X  ./\  Y )  =/=  X ) )
3723, 36mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =/=  X )
38 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)
397, 18, 14latmle1 14198 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
4028, 30, 32, 39syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) X )
41 hlpos 30177 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
4227, 41syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  K  e.  Poset )
437, 20atbase 30101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  ( Base `  K
) )
44433ad2ant2 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  e.  (
Base `  K )
)
4528, 30, 32, 15syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K ) )
46 simp2 956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  e.  A
)
477, 18, 28, 44, 45, 30, 38, 40lattrd 14180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p ( le
`  K ) X )
48 eqid 2296 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
4918, 48, 20, 8atcvrlln2 30330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  X  e.  N )  /\  p ( le `  K ) X )  ->  p (  <o  `  K ) X )
5027, 46, 29, 47, 49syl31anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p (  <o  `  K ) X )
517, 18, 48cvrnbtwn4 30091 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  ( Base `  K )  /\  X  e.  ( Base `  K
)  /\  ( X  ./\ 
Y )  e.  (
Base `  K )
)  /\  p (  <o  `  K ) X )  ->  ( (
p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5242, 44, 30, 45, 50, 51syl131anc 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( ( p ( le `  K
) ( X  ./\  Y )  /\  ( X 
./\  Y ) ( le `  K ) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5338, 40, 52mpbi2and 887 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( p  =  ( X  ./\  Y
)  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) )
54 neor 2543 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  ( X 
./\  Y )  \/  ( X  ./\  Y
)  =  X )  <-> 
( p  =/=  ( X  ./\  Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
5553, 54sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( p  =/=  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
5655necon1d 2528 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  ( ( X 
./\  Y )  =/= 
X  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
5737, 56mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  ) )  /\  p  e.  A  /\  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y ) )  ->  p  =  ( X  ./\  Y )
)
58573exp 1150 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( p  e.  A  ->  ( p ( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) ) )
5958reximdvai 2666 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( E. p  e.  A  p
( le `  K
) ( X  ./\  Y )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
6022, 59mpd 14 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) )
61 risset 2603 . 2  |-  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) )
6260, 61sylibr 203 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  A
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   Posetcpo 14090   meetcmee 14095   0.cp0 14159   Latclat 14167    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   AtLatcal 30076   HLchlt 30162   LLinesclln 30302
This theorem is referenced by:  2at0mat0  30336  ps-2c  30339  2llnmeqat  30382  dalemcea  30471  dalem2  30472  dalem21  30505  dalem54  30537  cdlemc5  31006
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309
  Copyright terms: Public domain W3C validator