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Theorem 2llnmj 30371
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2llnmj.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2llnmj.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2llnmj.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
2llnmj.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
2llnmj  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )

Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2llnmj.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
42, 3llnbase 30320 . . . 4  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
543ad2ant2 977 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
62, 3llnbase 30320 . . . 4  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
763ad2ant3 978 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
8 2llnmj.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 2llnmj.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 eqid 2296 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
112, 8, 9, 10cvrexch 30231 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
121, 5, 7, 11syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
13 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  K  e.  HL )
14 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
15 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  Y  e.  N
)
16 hllat 30175 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
182, 17, 9latmle2 14199 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
1916, 4, 6, 18syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
2019adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
21 2llnmj.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 30330 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
24 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  ->  Y  e.  N )
252, 9latmcl 14173 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2616, 4, 6, 25syl3an 1224 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
271, 26, 73jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) ) )
282, 10, 21, 3atcvrlln 30331 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y ) ( 
<o  `  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  Y  e.  N
) )
2927, 28sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  Y  e.  N ) )
3024, 29mpbird 223 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
3123, 30impbida 805 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  ./\ 
Y ) (  <o  `  K ) Y ) )
32 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  K  e.  HL )
33 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X  e.  N
)
34 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  P )
352, 17, 8latlej1 14182 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
3616, 4, 6, 35syl3an 1224 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
3736adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) )
38 2llnmj.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 30368 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  ( X  .\/  Y )  e.  P )  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
41 simpl2 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  X  e.  N )
422, 8latjcl 14172 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
4316, 4, 6, 42syl3an 1224 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
441, 5, 433jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) ) )
452, 10, 3, 38llncvrlpln 30369 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
(  <o  `  K )
( X  .\/  Y
) )  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
4644, 45sylan 457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
4741, 46mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  P )
4840, 47impbida 805 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  P  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
4912, 31, 483bitr4d 276 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Latclat 14167    <o ccvr 30074   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LLinesclln 30302   LPlanesclpl 30303
This theorem is referenced by:  2atmat  30372  dalem2  30472  dalemdea  30473  dalem22  30506  dalem23  30507  arglem1N  31001  cdleme16d  31092  cdleme20l2  31132
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310
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