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Theorem 2llnmj 30054
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2llnmj.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2llnmj.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2llnmj.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
2llnmj.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
2llnmj  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )

Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2412 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2llnmj.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
42, 3llnbase 30003 . . . 4  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
543ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
62, 3llnbase 30003 . . . 4  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
763ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
8 2llnmj.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 2llnmj.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 eqid 2412 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
112, 8, 9, 10cvrexch 29914 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
121, 5, 7, 11syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
13 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  K  e.  HL )
14 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
15 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  Y  e.  N
)
16 hllat 29858 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
182, 17, 9latmle2 14469 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
1916, 4, 6, 18syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
2019adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
21 2llnmj.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 30013 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
24 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  ->  Y  e.  N )
252, 9latmcl 14443 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2616, 4, 6, 25syl3an 1226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
271, 26, 73jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) ) )
282, 10, 21, 3atcvrlln 30014 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y ) ( 
<o  `  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  Y  e.  N
) )
2927, 28sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  Y  e.  N ) )
3024, 29mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
3123, 30impbida 806 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  ./\ 
Y ) (  <o  `  K ) Y ) )
32 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  K  e.  HL )
33 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X  e.  N
)
34 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  P )
352, 17, 8latlej1 14452 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
3616, 4, 6, 35syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
3736adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) )
38 2llnmj.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 30051 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  ( X  .\/  Y )  e.  P )  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
41 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  X  e.  N )
422, 8latjcl 14442 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
4316, 4, 6, 42syl3an 1226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
441, 5, 433jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) ) )
452, 10, 3, 38llncvrlpln 30052 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
(  <o  `  K )
( X  .\/  Y
) )  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
4644, 45sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
4741, 46mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  P )
4840, 47impbida 806 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  P  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
4912, 31, 483bitr4d 277 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   lecple 13499   joincjn 14364   meetcmee 14365   Latclat 14437    <o ccvr 29757   Atomscatm 29758   HLchlt 29845   LLinesclln 29985   LPlanesclpl 29986
This theorem is referenced by:  2atmat  30055  dalem2  30155  dalemdea  30156  dalem22  30189  dalem23  30190  arglem1N  30684  cdleme16d  30775  cdleme20l2  30815
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-lat 14438  df-clat 14500  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993
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