Theorem 2llnmj 30054

Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnmj.j	|- .\/ = ( join ` K )
2llnmj.m	|- ./\ = ( meet ` K )
2llnmj.a	|- A = ( Atoms ` K )
2llnmj.n	|- N = ( LLines ` K )
2llnmj.p	|- P = ( LPlanes ` K )

Assertion

Ref	Expression
2llnmj	|- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A <-> ( X .\/ Y ) e. P ) )

Proof of Theorem 2llnmj

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 957	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> K e. HL )
2		eqid 2412	. . . . 5 |- ( Base ` K ) = ( Base ` K )
3		2llnmj.n	. . . . 5 |- N = ( LLines ` K )
4	2, 3	llnbase 30003	. . . 4 |- ( X e. N -> X e. ( Base ` K ) )
5	4	3ad2ant2 979	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> X e. ( Base ` K ) )
6	2, 3	llnbase 30003	. . . 4 |- ( Y e. N -> Y e. ( Base ` K ) )
7	6	3ad2ant3 980	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> Y e. ( Base ` K ) )
8		2llnmj.j	. . . 4 |- .\/ = ( join ` K )
9		2llnmj.m	. . . 4 |- ./\ = ( meet ` K )
10		eqid 2412	. . . 4 |- ( <o ` K ) = ( <o ` K )
11	2, 8, 9, 10	cvrexch 29914	. . 3 |- ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
12	1, 5, 7, 11	syl3anc 1184	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
13		simpl1 960	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> K e. HL )
14		simpr 448	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) e. A )
15		simpl3 962	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> Y e. N )
16		hllat 29858	. . . . . 6 |- ( K e. HL -> K e. Lat )
17		eqid 2412	. . . . . . 7 |- ( le ` K ) = ( le ` K )
18	2, 17, 9	latmle2 14469	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
19	16, 4, 6, 18	syl3an 1226	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
20	19	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y )
21		2llnmj.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
22	17, 10, 21, 3	atcvrlln2 30013	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. A /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) ( le ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
23	13, 14, 15, 20, 22	syl31anc 1187	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) e. A ) -> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y )
24		simpl3 962	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> Y e. N )
25	2, 9	latmcl 14443	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
26	16, 4, 6, 25	syl3an 1226	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) )
27	1, 26, 7	3jca 1134	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) )
28	2, 10, 21, 3	atcvrlln 30014	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ ( X ./\ Y ) e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A <-> Y e. N ) )
29	27, 28	sylan 458	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A <-> Y e. N ) )
30	24, 29	mpbird 224	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) -> ( X ./\ Y ) e. A )
31	23, 30	impbida 806	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A <-> ( X ./\ Y ) ( <o ` K ) Y ) )
32		simpl1 960	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> K e. HL )
33		simpl2 961	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> X e. N )
34		simpr 448	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> ( X .\/ Y ) e. P )
35	2, 17, 8	latlej1 14452	. . . . . 6 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
36	16, 4, 6, 35	syl3an 1226	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
37	36	adantr 452	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) )
38		2llnmj.p	. . . . 5 |- P = ( LPlanes ` K )
39	17, 10, 3, 38	llncvrlpln2 30051	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ ( X .\/ Y ) e. P ) /\ X ( le ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
40	32, 33, 34, 37, 39	syl31anc 1187	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ ( X .\/ Y ) e. P ) -> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) )
41		simpl2 961	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> X e. N )
42	2, 8	latjcl 14442	. . . . . . 7 |- ( ( K e. Lat /\ X e. ( Base ` K ) /\ Y e. ( Base ` K ) ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
43	16, 4, 6, 42	syl3an 1226	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) )
44	1, 5, 43	3jca 1134	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) )
45	2, 10, 3, 38	llncvrlpln 30052	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. ( Base ` K ) /\ ( X .\/ Y ) e. ( Base ` K ) ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. N <-> ( X .\/ Y ) e. P ) )
46	44, 45	sylan 458	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X e. N <-> ( X .\/ Y ) e. P ) )
47	41, 46	mpbid 202	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) /\ X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) -> ( X .\/ Y ) e. P )
48	40, 47	impbida 806	. 2 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( ( X .\/ Y ) e. P <-> X ( <o ` K ) ( X .\/ Y ) ) )
49	12, 31, 48	3bitr4d 277	1 |- ( ( K e. HL /\ X e. N /\ Y e. N ) -> ( ( X ./\ Y ) e. A <-> ( X .\/ Y ) e. P ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   lecple 13499   joincjn 14364   meetcmee 14365   Latclat 14437   <o ccvr 29757   Atomscatm 29758   HLchlt 29845   LLinesclln 29985   LPlanesclpl 29986

This theorem is referenced by:  2atmat  30055  dalem2  30155  dalemdea  30156  dalem22  30189  dalem23  30190  arglem1N  30684  cdleme16d  30775  cdleme20l2  30815

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-lat 14438  df-clat 14500  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993