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Theorem 2llnmj 29674
Description: The meet of two lattice lines is an atom iff their join is a lattice plane. (Contributed by NM, 27-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmj.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
2llnmj.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2llnmj.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2llnmj.n  |-  N  =  ( LLines `  K )
2llnmj.p  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
Assertion
Ref Expression
2llnmj  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )

Proof of Theorem 2llnmj
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  K  e.  HL )
2 eqid 2387 . . . . 5  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 2llnmj.n . . . . 5  |-  N  =  ( LLines `  K )
42, 3llnbase 29623 . . . 4  |-  ( X  e.  N  ->  X  e.  ( Base `  K
) )
543ad2ant2 979 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X  e.  ( Base `  K ) )
62, 3llnbase 29623 . . . 4  |-  ( Y  e.  N  ->  Y  e.  ( Base `  K
) )
763ad2ant3 980 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  Y  e.  ( Base `  K ) )
8 2llnmj.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 2llnmj.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 eqid 2387 . . . 4  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
112, 8, 9, 10cvrexch 29534 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
121, 5, 7, 11syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
13 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  K  e.  HL )
14 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
15 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  Y  e.  N
)
16 hllat 29478 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
17 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
182, 17, 9latmle2 14433 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
1916, 4, 6, 18syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )
2019adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y ) ( le `  K ) Y )
21 2llnmj.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2217, 10, 21, 3atcvrlln2 29633 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) Y )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
2313, 14, 15, 20, 22syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  A )  ->  ( X  ./\  Y ) (  <o  `  K
) Y )
24 simpl3 962 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  ->  Y  e.  N )
252, 9latmcl 14407 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  ( Base `  K
) )
2616, 4, 6, 25syl3an 1226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
271, 26, 73jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) ) )
282, 10, 21, 3atcvrlln 29634 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  ./\  Y
)  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  /\  ( X  ./\  Y ) ( 
<o  `  K ) Y )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  Y  e.  N
) )
2927, 28sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  Y  e.  N ) )
3024, 29mpbird 224 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  ./\  Y
) (  <o  `  K
) Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  e.  A )
3123, 30impbida 806 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  ./\ 
Y ) (  <o  `  K ) Y ) )
32 simpl1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  K  e.  HL )
33 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X  e.  N
)
34 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  P )
352, 17, 8latlej1 14416 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  X
( le `  K
) ( X  .\/  Y ) )
3616, 4, 6, 35syl3an 1226 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
3736adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X ( le
`  K ) ( X  .\/  Y ) )
38 2llnmj.p . . . . 5  |-  P  =  ( LPlanes `  K )
3917, 10, 3, 38llncvrlpln2 29671 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  ( X  .\/  Y )  e.  P )  /\  X ( le `  K ) ( X 
.\/  Y ) )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
4032, 33, 34, 37, 39syl31anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  ( X  .\/  Y
)  e.  P )  ->  X (  <o  `  K ) ( X 
.\/  Y ) )
41 simpl2 961 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  X  e.  N )
422, 8latjcl 14406 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  Y  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )
4316, 4, 6, 42syl3an 1226 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( X  .\/  Y
)  e.  ( Base `  K ) )
441, 5, 433jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) ) )
452, 10, 3, 38llncvrlpln 29672 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  ( Base `  K )  /\  ( X  .\/  Y )  e.  ( Base `  K
) )  /\  X
(  <o  `  K )
( X  .\/  Y
) )  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
4644, 45sylan 458 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  e.  N  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
4741, 46mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  /\  X (  <o  `  K
) ( X  .\/  Y ) )  ->  ( X  .\/  Y )  e.  P )
4840, 47impbida 806 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  .\/  Y )  e.  P  <->  X (  <o  `  K ) ( X  .\/  Y ) ) )
4912, 31, 483bitr4d 277 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  N  /\  Y  e.  N )  ->  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  ( X  .\/  Y )  e.  P
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   joincjn 14328   meetcmee 14329   Latclat 14401    <o ccvr 29377   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   LLinesclln 29605   LPlanesclpl 29606
This theorem is referenced by:  2atmat  29675  dalem2  29775  dalemdea  29776  dalem22  29809  dalem23  29810  arglem1N  30304  cdleme16d  30395  cdleme20l2  30435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-llines 29612  df-lplanes 29613
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