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Theorem 2lnat 30655
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnat.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
2lnat.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
2lnat.z  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
2lnat.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2lnat.n  |-  N  =  ( Lines `  K )
2lnat.f  |-  F  =  ( pmap `  K
)
Assertion
Ref Expression
2lnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )

Proof of Theorem 2lnat
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  HL )
2 hlatl 30232 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  AtLat )
4 hllat 30235 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
51, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  K  e.  Lat )
6 simp12 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  X  e.  B )
7 simp13 990 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  Y  e.  B )
8 2lnat.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
9 2lnat.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
108, 9latmcl 14485 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
)  e.  B )
115, 6, 7, 10syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  B )
12 simp3r 987 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  =/= 
.0.  )
13 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
14 2lnat.z . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0. `  K )
15 2lnat.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
168, 13, 14, 15atlex 30188 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B  /\  ( X 
./\  Y )  =/= 
.0.  )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
173, 11, 12, 16syl3anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
18 simp13l 1073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  X  =/=  Y )
19 simp11 988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
20 simp12l 1071 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( F `  X )  e.  N
)
21 simp12r 1072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( F `  Y )  e.  N
)
22 2lnat.n . . . . . . . . . . 11  |-  N  =  ( Lines `  K )
23 2lnat.f . . . . . . . . . . 11  |-  F  =  ( pmap `  K
)
248, 13, 22, 23lncmp 30654 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N ) )  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  X  =  Y ) )
2519, 20, 21, 24syl12anc 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  X  =  Y ) )
26 simp111 1087 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  HL )
2726, 4syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  Lat )
28 simp112 1088 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  X  e.  B )
29 simp113 1089 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  Y  e.  B )
308, 13, 9latleeqm1 14513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X ( le
`  K ) Y  <-> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
3127, 28, 29, 30syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X
( le `  K
) Y  <->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
3225, 31bitr3d 248 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  =  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =  X ) )
3332necon3bid 2638 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  =/=  Y  <->  ( X  ./\  Y )  =/=  X ) )
3418, 33mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =/=  X
)
35 simp3 960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p ( le `  K ) ( X  ./\  Y )
)
368, 13, 9latmle1 14510 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  ./\  Y
) ( le `  K ) X )
3727, 28, 29, 36syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) X )
38 hlpos 30237 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Poset )
3926, 38syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  K  e.  Poset
)
408, 15atbase 30161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
41403ad2ant2 980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  e.  B )
4227, 28, 29, 10syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  e.  B
)
43 simp2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  e.  A )
448, 13, 27, 41, 42, 28, 35, 37lattrd 14492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p ( le `  K ) X )
45 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
468, 13, 45, 15, 22, 23lncvrat 30653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  p  e.  A )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  p ( le `  K ) X ) )  ->  p (  <o  `  K ) X )
4726, 28, 43, 20, 44, 46syl32anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p (  <o  `  K ) X )
488, 13, 45cvrnbtwn4 30151 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  Poset  /\  (
p  e.  B  /\  X  e.  B  /\  ( X  ./\  Y )  e.  B )  /\  p (  <o  `  K
) X )  -> 
( ( p ( le `  K ) ( X  ./\  Y
)  /\  ( X  ./\ 
Y ) ( le
`  K ) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y
)  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
4939, 41, 28, 42, 47, 48syl131anc 1198 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( (
p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  /\  ( X  ./\  Y ) ( le `  K
) X )  <->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) ) )
5035, 37, 49mpbi2and 889 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( p  =  ( X  ./\  Y )  \/  ( X 
./\  Y )  =  X ) )
51 neor 2690 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  =  ( X 
./\  Y )  \/  ( X  ./\  Y
)  =  X )  <-> 
( p  =/=  ( X  ./\  Y )  -> 
( X  ./\  Y
)  =  X ) )
5250, 51sylib 190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( p  =/=  ( X  ./\  Y
)  ->  ( X  ./\ 
Y )  =  X ) )
5352necon1d 2675 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  ( ( X  ./\  Y )  =/= 
X  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) ) )
5434, 53mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  (
( F `  X
)  e.  N  /\  ( F `  Y )  e.  N )  /\  ( X  =/=  Y  /\  ( X  ./\  Y
)  =/=  .0.  )
)  /\  p  e.  A  /\  p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )
)  ->  p  =  ( X  ./\  Y ) )
55543exp 1153 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  (
p  e.  A  -> 
( p ( le
`  K ) ( X  ./\  Y )  ->  p  =  ( X 
./\  Y ) ) ) )
5655reximdvai 2818 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( E. p  e.  A  p ( le `  K ) ( X 
./\  Y )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) ) )
5717, 56mpd 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\  Y ) )
58 risset 2755 . 2  |-  ( ( X  ./\  Y )  e.  A  <->  E. p  e.  A  p  =  ( X  ./\ 
Y ) )
5957, 58sylibr 205 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( F `  X )  e.  N  /\  ( F `  Y
)  e.  N )  /\  ( X  =/= 
Y  /\  ( X  ./\ 
Y )  =/=  .0.  ) )  ->  ( X  ./\  Y )  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   Basecbs 13474   lecple 13541   Posetcpo 14402   meetcmee 14407   0.cp0 14471   Latclat 14479    <o ccvr 30134   Atomscatm 30135   AtLatcal 30136   HLchlt 30222   Linesclines 30365   pmapcpmap 30368
This theorem is referenced by:  cdleme3h  31106  cdleme7ga  31119
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-undef 6546  df-riota 6552  df-poset 14408  df-plt 14420  df-lub 14436  df-glb 14437  df-join 14438  df-meet 14439  df-p0 14473  df-lat 14480  df-clat 14542  df-oposet 30048  df-ol 30050  df-oml 30051  df-covers 30138  df-ats 30139  df-atl 30170  df-cvlat 30194  df-hlat 30223  df-lines 30372  df-pmap 30375
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