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Theorem 2ndc1stc 17514
Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
2ndc1stc  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
1stc )

Proof of Theorem 2ndc1stc
Dummy variables  o 
b  p  q  s  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndctop 17510 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
Top )
2 is2ndc 17509 . . . 4  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
3 ssrab2 3428 . . . . . . . . . . 11  |-  { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  b
4 bastg 17031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  b  C_  ( topGen `
 b ) )
543ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  b  C_  ( topGen `  b )
)
63, 5syl5ss 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  ( topGen `
 b ) )
7 fvex 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen `  b )  e.  _V
87elpw2 4364 . . . . . . . . . 10  |-  ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  e.  ~P ( topGen `  b )  <->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  ( topGen `
 b ) )
96, 8sylibr 204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  e.  ~P ( topGen `  b )
)
10 vex 2959 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
11 ssdomg 7153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  _V  ->  ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  b  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  b ) )
1210, 3, 11mp2 9 . . . . . . . . . 10  |-  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  b
13 simp2 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  b  ~<_  om )
14 domtr 7160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om )
1512, 13, 14sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om )
16 eltg2b 17024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( o  e.  ( topGen `  b )  <->  A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )
17163ad2ant1 978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( o  e.  ( topGen `  b )  <->  A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )
18 elequ1 1728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  t  <->  x  e.  t ) )
1918anbi1d 686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  t  /\  t  C_  o
)  <->  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )
2019rexbidv 2726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( E. t  e.  b 
( y  e.  t  /\  t  C_  o
)  <->  E. t  e.  b  ( x  e.  t  /\  t  C_  o
) ) )
2120rspccv 3049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o )  -> 
( x  e.  o  ->  E. t  e.  b  ( x  e.  t  /\  t  C_  o
) ) )
22 id 20 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  b  /\  x  e.  t )  ->  ( t  e.  b  /\  x  e.  t ) )
2322adantrr 698 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) )  ->  ( t  e.  b  /\  x  e.  t ) )
24 elequ2 1730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( q  =  t  ->  (
x  e.  q  <->  x  e.  t ) )
2524elrab 3092 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  <->  ( t  e.  b  /\  x  e.  t ) )
2623, 25sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) )  ->  t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q } )
2726adantl 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b
) )  /\  (
t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )  ->  t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q } )
28 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b
) )  /\  (
t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )  ->  (
x  e.  t  /\  t  C_  o ) )
29 elequ2 1730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  t  ->  (
x  e.  p  <->  x  e.  t ) )
30 sseq1 3369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  t  ->  (
p  C_  o  <->  t  C_  o ) )
3129, 30anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  t  ->  (
( x  e.  p  /\  p  C_  o )  <-> 
( x  e.  t  /\  t  C_  o
) ) )
3231rspcev 3052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )
3327, 28, 32syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b
) )  /\  (
t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )
3433rexlimdvaa 2831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( E. t  e.  b  (
x  e.  t  /\  t  C_  o )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )
3521, 34syl9r 69 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o )  -> 
( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
3617, 35sylbid 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( o  e.  ( topGen `  b )  ->  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
3736ralrimiv 2788 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )
38 breq1 4215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  (
s  ~<_  om  <->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om ) )
39 rexeq 2905 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  ( E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o )  <->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )
4039imbi2d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  (
( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )  <->  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
4140ralbidv 2725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  ( A. o  e.  ( topGen `
 b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )  <->  A. o  e.  (
topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
4238, 41anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  (
( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )  <-> 
( { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
4342rspcev 3052 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  e.  ~P ( topGen `
 b )  /\  ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b )
( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
449, 15, 37, 43syl12anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b
) ( s  ~<_  om 
/\  A. o  e.  (
topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
45443expia 1155 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( x  e.  U. ( topGen `  b )  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b
) ( s  ~<_  om 
/\  A. o  e.  (
topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
46 unieq 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. J )
4746eleq2d 2503 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( x  e.  U. ( topGen `  b
)  <->  x  e.  U. J
) )
48 pweq 3802 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ~P ( topGen `
 b )  =  ~P J )
49 raleq 2904 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
5049anbi2d 685 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )  <->  ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
5148, 50rexeqbidv 2917 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( E. s  e.  ~P  ( topGen `
 b ) ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )  <->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
5247, 51imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
x  e.  U. ( topGen `
 b )  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b )
( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )  <->  ( x  e. 
U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) ) )
5345, 52syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) ) )
5453expimpd 587 . . . . 5  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) ) )
5554rexlimiv 2824 . . . 4  |-  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
562, 55sylbi 188 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om 
/\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
5756ralrimiv 2788 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  A. x  e.  U. J E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
58 eqid 2436 . . 3  |-  U. J  =  U. J
5958is1stc2 17505 . 2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
601, 57, 59sylanbrc 646 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2705   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   omcom 4845   ` cfv 5454    ~<_ cdom 7107   topGenctg 13665   Topctop 16958   TopBasesctb 16962   1stcc1stc 17500   2ndcc2ndc 17501
This theorem is referenced by:  dis1stc  17562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-dom 7111  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-1stc 17502  df-2ndc 17503
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