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Theorem 2ndc1stc 17177
Description: A second-countable space is first-countable. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.)
Assertion
Ref Expression
2ndc1stc  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
1stc )

Proof of Theorem 2ndc1stc
Dummy variables  o 
b  p  q  s  t  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndctop 17173 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
Top )
2 is2ndc 17172 . . . 4  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
3 ssrab2 3258 . . . . . . . . . . 11  |-  { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  b
4 bastg 16704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  b  C_  ( topGen `
 b ) )
543ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  b  C_  ( topGen `  b )
)
63, 5syl5ss 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  ( topGen `
 b ) )
7 fvex 5539 . . . . . . . . . . 11  |-  ( topGen `  b )  e.  _V
87elpw2 4175 . . . . . . . . . 10  |-  ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  e.  ~P ( topGen `  b )  <->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  ( topGen `
 b ) )
96, 8sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  e.  ~P ( topGen `  b )
)
10 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  b  e. 
_V
11 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  e.  _V  ->  ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  C_  b  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  b ) )
1210, 3, 11mp2 17 . . . . . . . . . 10  |-  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  b
13 simp2 956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  b  ~<_  om )
14 domtr 6914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om )
1512, 13, 14sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om )
16 eltg2b 16697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( o  e.  ( topGen `  b )  <->  A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )
17163ad2ant1 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( o  e.  ( topGen `  b )  <->  A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )
18 elequ1 1687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  t  <->  x  e.  t ) )
1918anbi1d 685 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  t  /\  t  C_  o
)  <->  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )
2019rexbidv 2564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  x  ->  ( E. t  e.  b 
( y  e.  t  /\  t  C_  o
)  <->  E. t  e.  b  ( x  e.  t  /\  t  C_  o
) ) )
2120rspccv 2881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o )  -> 
( x  e.  o  ->  E. t  e.  b  ( x  e.  t  /\  t  C_  o
) ) )
22 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( t  e.  b  /\  x  e.  t )  ->  ( t  e.  b  /\  x  e.  t ) )
2322adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) )  ->  ( t  e.  b  /\  x  e.  t ) )
24 elequ2 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( q  =  t  ->  (
x  e.  q  <->  x  e.  t ) )
2524elrab 2923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  <->  ( t  e.  b  /\  x  e.  t ) )
2623, 25sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) )  ->  t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q } )
2726adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b
) )  /\  (
t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )  ->  t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q } )
28 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b
) )  /\  (
t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )  ->  (
x  e.  t  /\  t  C_  o ) )
29 elequ2 1689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  t  ->  (
x  e.  p  <->  x  e.  t ) )
30 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( p  =  t  ->  (
p  C_  o  <->  t  C_  o ) )
3129, 30anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  t  ->  (
( x  e.  p  /\  p  C_  o )  <-> 
( x  e.  t  /\  t  C_  o
) ) )
3231rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( t  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )
3327, 28, 32syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b
) )  /\  (
t  e.  b  /\  ( x  e.  t  /\  t  C_  o ) ) )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )
3433exp32 588 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( t  e.  b  ->  ( ( x  e.  t  /\  t  C_  o )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
3534rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( E. t  e.  b  (
x  e.  t  /\  t  C_  o )  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )
3621, 35syl9r 67 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( A. y  e.  o  E. t  e.  b  (
y  e.  t  /\  t  C_  o )  -> 
( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
3717, 36sylbid 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  ( o  e.  ( topGen `  b )  ->  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
3837ralrimiv 2625 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )
39 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  (
s  ~<_  om  <->  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om ) )
40 rexeq 2737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  ( E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o )  <->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )
4140imbi2d 307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  (
( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )  <->  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
4241ralbidv 2563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  ( A. o  e.  ( topGen `
 b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )  <->  A. o  e.  (
topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  (
x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
4339, 42anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ->  (
( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )  <-> 
( { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  { q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
4443rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  e.  ~P ( topGen `
 b )  /\  ( { q  e.  b  |  x  e.  q }  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  {
q  e.  b  |  x  e.  q }  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b )
( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
459, 15, 38, 44syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om  /\  x  e.  U. ( topGen `  b )
)  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b
) ( s  ~<_  om 
/\  A. o  e.  (
topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
46453expia 1153 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( x  e.  U. ( topGen `  b )  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b
) ( s  ~<_  om 
/\  A. o  e.  (
topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s 
( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
47 unieq 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. J )
4847eleq2d 2350 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( x  e.  U. ( topGen `  b
)  <->  x  e.  U. J
) )
49 pweq 3628 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ~P ( topGen `
 b )  =  ~P J )
50 raleq 2736 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) )  <->  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
5150anbi2d 684 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )  <->  ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
5249, 51rexeqbidv 2749 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( E. s  e.  ~P  ( topGen `
 b ) ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b )
( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) )  <->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
5348, 52imbi12d 311 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
x  e.  U. ( topGen `
 b )  ->  E. s  e.  ~P  ( topGen `  b )
( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  ( topGen `  b ) ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )  <->  ( x  e. 
U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) ) )
5446, 53syl5ibcom 211 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) ) )
5554expimpd 586 . . . . 5  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) ) )
5655rexlimiv 2661 . . . 4  |-  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
572, 56sylbi 187 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  ->  ( x  e.  U. J  ->  E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om 
/\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
5857ralrimiv 2625 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  A. x  e.  U. J E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) )
59 eqid 2283 . . 3  |-  U. J  =  U. J
6059is1stc2 17168 . 2  |-  ( J  e.  1stc  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. x  e.  U. J E. s  e.  ~P  J ( s  ~<_  om  /\  A. o  e.  J  ( x  e.  o  ->  E. p  e.  s  ( x  e.  p  /\  p  C_  o ) ) ) ) )
611, 58, 60sylanbrc 645 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  e. 
1stc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   omcom 4656   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635   1stcc1stc 17163   2ndcc2ndc 17164
This theorem is referenced by:  dis1stc  17225
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-dom 6865  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-1stc 17165  df-2ndc 17166
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