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Theorem 2ndcdisj 17511
Description: Any disjoint family of open sets in a second-countable space is countable. (The sets are required to be nonempty because otherwise there could be many empty sets in the family.) (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/)
} )  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  B )  ->  A  ~<_  om )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B    x, J
Allowed substitution hints:    B( x)    J( y)

Proof of Theorem 2ndcdisj
Dummy variables  f 
b  w  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17501 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
2 omex 7590 . . . . . . 7  |-  om  e.  _V
32brdom 7112 . . . . . 6  |-  ( b  ~<_  om  <->  E. f  f : b -1-1-> om )
4 ssrab2 3420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  C_  ran  f
5 f1f 5631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : b -1-1-> om  ->  f : b --> om )
6 frn 5589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : b --> om  ->  ran  f  C_  om )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( f : b -1-1-> om  ->  ran  f  C_  om )
87adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ran  f  C_  om )
94, 8syl5ss 3351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } 
C_  om )
109adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( x  e.  A  /\  B  e.  (
( topGen `  b )  \  { (/) } ) ) )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  C_  om )
11 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/)
} )  <->  ( B  e.  ( topGen `  b )  /\  B  =/=  (/) ) )
12 n0 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. y  y  e.  B )
13 tg2 17022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( B  e.  ( topGen `  b )  /\  y  e.  B )  ->  E. z  e.  b  ( y  e.  z  /\  z  C_  B ) )
14 omsson 4841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  om  C_  On
159, 14syl6ss 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } 
C_  On )
1615ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } 
C_  On )
17 f1fn 5632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( f : b -1-1-> om  ->  f  Fn  b )
1817ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
f  Fn  b )
19 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  e.  b )
20 fnfvelrn 5859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( f  Fn  b  /\  z  e.  b )  ->  ( f `  z
)  e.  ran  f
)
2118, 19, 20syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
( f `  z
)  e.  ran  f
)
22 f1f1orn 5677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( f : b -1-1-> om  ->  f : b -1-1-onto-> ran  f )
2322ad3antlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
f : b -1-1-onto-> ran  f
)
24 f1ocnvfv1 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( f : b -1-1-onto-> ran  f  /\  z  e.  b
)  ->  ( `' f `  ( f `  z ) )  =  z )
2523, 19, 24syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
( `' f `  ( f `  z
) )  =  z )
26 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  C_  B )
27 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  z  e. 
_V
2827elpw 3797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( z  e.  ~P B  <->  z  C_  B )
2926, 28sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  e.  ~P B
)
30 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
y  e.  z )
31 ne0i 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( y  e.  z  ->  z  =/=  (/) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  =/=  (/) )
33 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( z  e.  ( ~P B  \  { (/) } )  <->  ( z  e.  ~P B  /\  z  =/=  (/) ) )
3429, 32, 33sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
z  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
3525, 34eqeltrd 2509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  -> 
( `' f `  ( f `  z
) )  e.  ( ~P B  \  { (/)
} ) )
36 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( n  =  ( f `  z )  ->  ( `' f `  n
)  =  ( `' f `  ( f `
 z ) ) )
3736eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( n  =  ( f `  z )  ->  (
( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/)
} )  <->  ( `' f `  ( f `  z ) )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) ) )
3837rspcev 3044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( f `  z
)  e.  ran  f  /\  ( `' f `  ( f `  z
) )  e.  ( ~P B  \  { (/)
} ) )  ->  E. n  e.  ran  f ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
3921, 35, 38syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  ->  E. n  e.  ran  f ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
40 rabn0 3639 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  =/=  (/)  <->  E. n  e.  ran  f ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
4139, 40sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  ->  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  =/=  (/) )
42 onint 4767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } 
C_  On  /\  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
4316, 41, 42syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  (
z  e.  b  /\  ( y  e.  z  /\  z  C_  B
) ) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
4443rexlimdvaa 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( E. z  e.  b  (
y  e.  z  /\  z  C_  B )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4513, 44syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  e.  ( topGen `  b )  /\  y  e.  B )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4645expdimp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  B  e.  ( topGen `  b )
)  ->  ( y  e.  B  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4746exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  B  e.  ( topGen `  b )
)  ->  ( E. y  y  e.  B  ->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4812, 47syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  x  e.  A )  /\  B  e.  ( topGen `  b )
)  ->  ( B  =/=  (/)  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
4948expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( ( B  e.  ( topGen `  b )  /\  B  =/=  (/) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
5011, 49syl5bi 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  ->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
5150impr 603 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( x  e.  A  /\  B  e.  (
( topGen `  b )  \  { (/) } ) ) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
5210, 51sseldd 3341 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( x  e.  A  /\  B  e.  (
( topGen `  b )  \  { (/) } ) ) )  ->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om )
5352expr 599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  ->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om ) )
5453ralimdva 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  ->  A. x  e.  A  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om ) )
5554imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) )  ->  A. x  e.  A  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om )
5655adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
) )  ->  A. x  e.  A  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om )
57 eqid 2435 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  =  ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
5857fmpt 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  om  <->  ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A --> om )
5956, 58sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A --> om )
60 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( `' f `  z
)  =  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  ->  ( ( `' f `  z )  =/=  (/)  <->  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  =/=  (/) ) )
61 neeq1 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1o  =  if ( ( `' f `  z
)  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  ->  ( 1o  =/=  (/)  <->  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  =/=  (/) ) )
62 1n0 6731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  1o  =/=  (/)
6360, 61, 62elimhyp 3779 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  =/=  (/)
64 n0 3629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  =/=  (/)  <->  E. y 
y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o ) )
6563, 64mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  E. y 
y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )
66 19.29r 1607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( E. y  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  E. y
( y  e.  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  /\  E* x  e.  A y  e.  B ) )
6765, 66mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. y E* x  e.  A
y  e.  B  ->  E. y ( y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  /\  E* x  e.  A
y  e.  B ) )
68 eleq1 2495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  (
z  e.  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  <->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  e.  {
n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
6951, 68syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( x  e.  A  /\  B  e.  (
( topGen `  b )  \  { (/) } ) ) )  ->  ( z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  z  e.  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
7069imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  z  e.  { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
71 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( n  =  z  ->  ( `' f `  n
)  =  ( `' f `  z ) )
7271eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( n  =  z  ->  (
( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/)
} )  <->  ( `' f `  z )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) ) )
7372elrab 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( z  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  <->  ( z  e.  ran  f  /\  ( `' f `  z
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) ) )
7473simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( z  e.  { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  ( `' f `  z
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
7570, 74syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( `' f `  z )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) )
76 eldifsn 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( `' f `  z
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } )  <->  ( ( `' f `  z )  e.  ~P B  /\  ( `' f `  z
)  =/=  (/) ) )
7775, 76sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( ( `' f `  z
)  e.  ~P B  /\  ( `' f `  z )  =/=  (/) ) )
7877simprd 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( `' f `  z )  =/=  (/) )
79 iftrue 3737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( `' f `  z
)  =/=  (/)  ->  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  =  ( `' f `  z
) )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  if (
( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  =  ( `' f `
 z ) )
8177simpld 446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( `' f `  z )  e.  ~P B )
8281elpwid 3800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( `' f `  z )  C_  B )
8380, 82eqsstrd 3374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  if (
( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o ) 
C_  B )
8483sseld 3339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  (
x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) ) )  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  ->  ( y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  -> 
y  e.  B ) )
8584exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } ) )  ->  ( z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  (
y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  ->  y  e.  B
) ) ) )
8685com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  ( ( x  e.  A  /\  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } ) )  ->  ( y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  -> 
y  e.  B ) ) ) )
8786exp4a 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  ( x  e.  A  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  ->  ( y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o )  -> 
y  e.  B ) ) ) ) )
8887com25 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( y  e.  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  ->  (
x  e.  A  -> 
( B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  -> 
( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) ) ) ) )
8988imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o ) )  /\  x  e.  A
)  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  ->  ( z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) ) )
9089ralimdva 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  y  e.  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o ) )  -> 
( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  ->  A. x  e.  A  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) ) )
9190imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o ) )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } ) )  ->  A. x  e.  A  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) )
9291an32s 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } ) )  /\  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o ) )  ->  A. x  e.  A  ( z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B
) )
93 rmoim 3125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. x  e.  A  (
z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  ->  y  e.  B )  ->  ( E* x  e.  A
y  e.  B  ->  E* x  e.  A
z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9492, 93syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  f : b
-1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } ) )  /\  y  e.  if ( ( `' f `  z )  =/=  (/) ,  ( `' f `  z ) ,  1o ) )  ->  ( E* x  e.  A y  e.  B  ->  E* x  e.  A
z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9594expimpd 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) )  ->  ( ( y  e.  if ( ( `' f `  z
)  =/=  (/) ,  ( `' f `  z
) ,  1o )  /\  E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  E* x  e.  A z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9695exlimdv 1646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) )  ->  ( E. y
( y  e.  if ( ( `' f `
 z )  =/=  (/) ,  ( `' f `
 z ) ,  1o )  /\  E* x  e.  A y  e.  B )  ->  E* x  e.  A z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9767, 96syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } ) )  ->  ( A. y E* x  e.  A
y  e.  B  ->  E* x  e.  A
z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
9897impr 603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
) )  ->  E* x  e.  A z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
99 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x w
100 nfmpt1 4290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
101 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x
z
10299, 100, 101nfbr 4248 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ x  w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z
103 nfv 1629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ w
( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
104 breq1 4207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  x  ->  (
w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <-> 
x ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z ) )
105 df-br 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <->  <. x ,  z >.  e.  (
x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
106 df-mpt 4260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  =  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) }
107106eleq2i 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )  <->  <. x ,  z
>.  e.  { <. x ,  z >.  |  ( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) } )
108 opabid 4453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <.
x ,  z >.  e.  { <. x ,  z
>.  |  ( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) }  <-> 
( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
109105, 107, 1083bitri 263 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <->  ( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
110104, 109syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  x  ->  (
w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <-> 
( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) ) )
111102, 103, 110cbvmo 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E* w  w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <->  E* x ( x  e.  A  /\  z  = 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
112 df-rmo 2705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E* x  e.  A z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) }  <->  E* x
( x  e.  A  /\  z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `
 n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) )
113111, 112bitr4i 244 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E* w  w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z  <->  E* x  e.  A
z  =  |^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } )
11498, 113sylibr 204 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
) )  ->  E* w  w ( x  e.  A  |->  |^| { n  e. 
ran  f  |  ( `' f `  n
)  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z )
115114alrimiv 1641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
) )  ->  A. z E* w  w (
x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z )
116 dff12 5630 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A -1-1-> om  <->  ( ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A --> om  /\  A. z E* w  w ( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) z ) )
11759, 115, 116sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  |^|
{ n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A -1-1-> om )
118 f1domg 7119 . . . . . . . . . . 11  |-  ( om  e.  _V  ->  (
( x  e.  A  |-> 
|^| { n  e.  ran  f  |  ( `' f `  n )  e.  ( ~P B  \  { (/) } ) } ) : A -1-1-> om  ->  A  ~<_  om ) )
1192, 117, 118mpsyl 61 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  /\  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
) )  ->  A  ~<_  om )
120119ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B )  ->  A  ~<_  om ) )
121 difeq1 3450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } )  =  ( J  \  { (/)
} ) )
122121eleq2d 2502 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  <-> 
B  e.  ( J 
\  { (/) } ) ) )
123122ralbidv 2717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b
)  \  { (/) } )  <->  A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } ) ) )
124123anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `
 b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
)  <->  ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  B ) ) )
125124imbi1d 309 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
( A. x  e.  A  B  e.  ( ( topGen `  b )  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )  <->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  B )  ->  A  ~<_  om )
) )
126120, 125syl5ibcom 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  f : b -1-1-> om )  ->  ( ( topGen `  b
)  =  J  -> 
( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  B )  ->  A  ~<_  om )
) )
127126ex 424 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( f : b -1-1-> om  ->  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )
) ) )
128127exlimdv 1646 . . . . . 6  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( E. f 
f : b -1-1-> om  ->  ( ( topGen `  b
)  =  J  -> 
( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  B )  ->  A  ~<_  om )
) ) )
1293, 128syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( b  ~<_  om 
->  ( ( topGen `  b
)  =  J  -> 
( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  B )  ->  A  ~<_  om )
) ) )
130129imp3a 421 . . . 4  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )
) )
131130rexlimiv 2816 . . 3  |-  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )
)
1321, 131sylbi 188 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  ( ( A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/) } )  /\  A. y E* x  e.  A y  e.  B
)  ->  A  ~<_  om )
)
1331323impib 1151 1  |-  ( ( J  e.  2ndc  /\  A. x  e.  A  B  e.  ( J  \  { (/)
} )  /\  A. y E* x  e.  A
y  e.  B )  ->  A  ~<_  om )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E*wmo 2281    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   E*wrmo 2700   {crab 2701   _Vcvv 2948    \ cdif 3309    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ifcif 3731   ~Pcpw 3791   {csn 3806   <.cop 3809   |^|cint 4042   class class class wbr 4204   {copab 4257    e. cmpt 4258   Oncon0 4573   omcom 4837   `'ccnv 4869   ran crn 4871    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1->wf1 5443   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446   1oc1o 6709    ~<_ cdom 7099   topGenctg 13657   TopBasesctb 16954   2ndcc2ndc 17493
This theorem is referenced by:  2ndcdisj2  17512
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-1o 6716  df-dom 7103  df-topgen 13659  df-2ndc 17495
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