Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcdisj2 Unicode version

Theorem 2ndcdisj2 17199
 Description: Any disjoint collection of open sets in a second-countable space is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ndcdisj2
Distinct variable groups:   ,,   ,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem 2ndcdisj2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2564 . . 3
21albii 1556 . 2
3 undif2 3543 . . . . . 6
4 omex 7360 . . . . . . . 8
5 peano1 4691 . . . . . . . . 9
6 snssi 3775 . . . . . . . . 9
75, 6ax-mp 8 . . . . . . . 8
8 ssdomg 6923 . . . . . . . 8
94, 7, 8mp2 17 . . . . . . 7
10 id 19 . . . . . . . 8
11 ssdif 3324 . . . . . . . . 9
12 dfss3 3183 . . . . . . . . 9
1311, 12sylib 188 . . . . . . . 8
14 eldifi 3311 . . . . . . . . . . 11
1514anim1i 551 . . . . . . . . . 10
1615moimi 2203 . . . . . . . . 9
1716alimi 1549 . . . . . . . 8
18 df-rmo 2564 . . . . . . . . . 10
1918albii 1556 . . . . . . . . 9
20 2ndcdisj 17198 . . . . . . . . 9
2119, 20syl3an3br 1223 . . . . . . . 8
2210, 13, 17, 21syl3an 1224 . . . . . . 7
23 unctb 7847 . . . . . . 7
249, 22, 23sylancr 644 . . . . . 6
253, 24syl5eqbrr 4073 . . . . 5
26 reldom 6885 . . . . . 6
2726brrelexi 4745 . . . . 5
2825, 27syl 15 . . . 4
29 ssun2 3352 . . . 4
30 ssdomg 6923 . . . 4
3128, 29, 30ee10 1366 . . 3
32 domtr 6930 . . 3
3331, 25, 32syl2anc 642 . 2
342, 33syl3an3b 1220 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934  wal 1530   wcel 1696  wmo 2157  wral 2556  wrmo 2559  cvv 2801   cdif 3162   cun 3163   wss 3165  c0 3468  csn 3653   class class class wbr 4039  com 4672   cdom 6877  c2ndc 17180 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-topgen 13360  df-2ndc 17182
 Copyright terms: Public domain W3C validator