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Theorem 2ndcomap 17184
Description: A surjective continuous open map maps second-countable spaces to second-countable spaces. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2ndcomap.2  |-  Y  = 
U. K
2ndcomap.3  |-  ( ph  ->  J  e.  2ndc )
2ndcomap.5  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
2ndcomap.6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
2ndcomap.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
Assertion
Ref Expression
2ndcomap  |-  ( ph  ->  K  e.  2ndc )
Distinct variable groups:    x, F    x, J    ph, x    x, K
Allowed substitution hint:    Y( x)

Proof of Theorem 2ndcomap
Dummy variables  k  m  t  w  z 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2ndcomap.3 . . 3  |-  ( ph  ->  J  e.  2ndc )
2 is2ndc 17172 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
31, 2sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
4 2ndcomap.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  e.  ( J  Cn  K ) )
5 cntop2 16971 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  K  e.  Top )
64, 5syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  Top )
76ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  K  e.  Top )
8 simplll 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  ph )
9 bastg 16704 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  b  C_  ( topGen `
 b ) )
109ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  C_  ( topGen `  b )
)
11 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 b )  =  J )
1210, 11sseqtrd 3214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  C_  J )
1312sselda 3180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  x  e.  J )
14 2ndcomap.7 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  J )  ->  ( F " x )  e.  K )
158, 13, 14syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  x  e.  b )  ->  ( F " x
)  e.  K )
16 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) )  =  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )
1715, 16fmptd 5684 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K )
18 frn 5395 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) 
C_  K )
1917, 18syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  C_  K
)
20 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( z  e.  k  /\  k  e.  K )  ->  z  e.  U. K
)
21 2ndcomap.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  = 
U. K
2220, 21syl6eleqr 2374 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  k  /\  k  e.  K )  ->  z  e.  Y )
2322ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  ->  z  e.  Y )
2423adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  z  e.  Y )
25 2ndcomap.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ran  F  =  Y )
2625ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  ran  F  =  Y )
2724, 26eleqtrrd 2360 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  z  e.  ran  F )
28 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
2928, 21cnf 16976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( J  Cn  K )  ->  F : U. J --> Y )
304, 29syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : U. J --> Y )
3130ad3antrrr 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  F : U. J --> Y )
32 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : U. J --> Y  ->  F  Fn  U. J )
33 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( z  e.  ran  F  <->  E. t  e.  U. J
( F `  t
)  =  z ) )
3431, 32, 333syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  (
z  e.  ran  F  <->  E. t  e.  U. J
( F `  t
)  =  z ) )
3527, 34mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  E. t  e.  U. J ( F `
 t )  =  z )
364ad3antrrr 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  F  e.  ( J  Cn  K
) )
37 simprll 738 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  k  e.  K )
38 cnima 16994 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e.  ( J  Cn  K )  /\  k  e.  K )  ->  ( `' F "
k )  e.  J
)
3936, 37, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( `' F " k )  e.  J )
4011adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( topGen `
 b )  =  J )
4139, 40eleqtrrd 2360 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( `' F " k )  e.  ( topGen `  b
) )
42 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  t  e.  U. J )
43 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( F `  t )  =  z )
44 simprlr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  z  e.  k )
4543, 44eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( F `  t )  e.  k )
4631, 32syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  F  Fn  U. J )
4746adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
48 elpreima 5645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  Fn  U. J  -> 
( t  e.  ( `' F " k )  <-> 
( t  e.  U. J  /\  ( F `  t )  e.  k ) ) )
4947, 48syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  (
t  e.  ( `' F " k )  <-> 
( t  e.  U. J  /\  ( F `  t )  e.  k ) ) )
5042, 45, 49mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  t  e.  ( `' F "
k ) )
51 tg2 16703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F "
k )  e.  (
topGen `  b )  /\  t  e.  ( `' F " k ) )  ->  E. m  e.  b  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) )
5241, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  E. m  e.  b  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F "
k ) ) )
53 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  e.  b )
54 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( F
" m )  =  ( F " m
)
55 imaeq2 5008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  =  m  ->  ( F " x )  =  ( F " m
) )
5655eqeq2d 2294 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  m  ->  (
( F " m
)  =  ( F
" x )  <->  ( F " m )  =  ( F " m ) ) )
5756rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( m  e.  b  /\  ( F " m )  =  ( F "
m ) )  ->  E. x  e.  b 
( F " m
)  =  ( F
" x ) )
5853, 54, 57sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  E. x  e.  b 
( F " m
)  =  ( F
" x ) )
5947adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  F  Fn  U. J )
60 fnfun 5341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( F  Fn  U. J  ->  Fun  F )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  Fun  F )
62 simprrr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  C_  ( `' F " k ) )
63 funimass2 5326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( Fun  F  /\  m  C_  ( `' F "
k ) )  -> 
( F " m
)  C_  k )
6461, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  C_  k )
65 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  k  e. 
_V
66 ssexg 4160 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F " m
)  C_  k  /\  k  e.  _V )  ->  ( F " m
)  e.  _V )
6764, 65, 66sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  e.  _V )
6816elrnmpt 4926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F " m )  e.  _V  ->  (
( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  <->  E. x  e.  b  ( F " m
)  =  ( F
" x ) ) )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( ( F "
m )  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  <->  E. x  e.  b  ( F " m )  =  ( F " x ) ) )
7058, 69mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) )
7143adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F `  t
)  =  z )
72 simprrl 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
t  e.  m )
73 cnvimass 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( `' F " k ) 
C_  dom  F
7462, 73syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  m  C_  dom  F )
75 funfvima2 5754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( Fun  F  /\  m  C_ 
dom  F )  -> 
( t  e.  m  ->  ( F `  t
)  e.  ( F
" m ) ) )
7661, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( t  e.  m  ->  ( F `  t
)  e.  ( F
" m ) ) )
7772, 76mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
( F `  t
)  e.  ( F
" m ) )
7871, 77eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  -> 
z  e.  ( F
" m ) )
79 eleq2 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
z  e.  w  <->  z  e.  ( F " m ) ) )
80 sseq1 3199 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
w  C_  k  <->  ( F " m )  C_  k
) )
8179, 80anbi12d 691 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( F "
m )  ->  (
( z  e.  w  /\  w  C_  k )  <-> 
( z  e.  ( F " m )  /\  ( F "
m )  C_  k
) ) )
8281rspcev 2884 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F " m
)  e.  ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  /\  ( z  e.  ( F "
m )  /\  ( F " m )  C_  k ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8370, 78, 64, 82syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  (
m  e.  b  /\  ( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8483expr 598 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  /\  m  e.  b )  ->  (
( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) ) )
8584rexlimdva 2667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  ( E. m  e.  b 
( t  e.  m  /\  m  C_  ( `' F " k ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) ) )
8652, 85mpd 14 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( ( k  e.  K  /\  z  e.  k )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8786anassrs 629 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  /\  (
t  e.  U. J  /\  ( F `  t
)  =  z ) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
8887expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  /\  t  e.  U. J )  -> 
( ( F `  t )  =  z  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) ) )
8988rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  ( E. t  e.  U. J
( F `  t
)  =  z  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) ) )
9035, 89mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  b  e.  TopBases )  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  /\  ( k  e.  K  /\  z  e.  k
) )  ->  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
9190ralrimivva 2635 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  A. k  e.  K  A. z  e.  k  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )
92 basgen2 16727 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Top  /\  ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  C_  K  /\  A. k  e.  K  A. z  e.  k  E. w  e.  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) ) ( z  e.  w  /\  w  C_  k ) )  -> 
( topGen `  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  =  K )
937, 19, 91, 92syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  =  K )
9493, 7eqeltrd 2357 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  Top )
95 tgclb 16708 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  e.  TopBases  <->  ( topGen ` 
ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) ) )  e.  Top )
9694, 95sylibr 203 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  e.  TopBases )
97 omelon 7347 . . . . . . . . 9  |-  om  e.  On
98 simprl 732 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  ~<_  om )
99 ondomen 7664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( om  e.  On  /\  b  ~<_  om )  ->  b  e.  dom  card )
10097, 98, 99sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  b  e.  dom  card )
101 ffn 5389 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b --> K  ->  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  Fn  b )
10217, 101syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) )  Fn  b )
103 dffn4 5457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  b  |->  ( F " x ) )  Fn  b  <->  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) : b -onto-> ran  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) )
104102, 103sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  (
x  e.  b  |->  ( F " x ) ) : b -onto-> ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) ) )
105 fodomnum 7684 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  dom  card  ->  ( ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) ) : b
-onto->
ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ->  ran  ( x  e.  b 
|->  ( F " x
) )  ~<_  b ) )
106100, 104, 105sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  ~<_  b )
107 domtr 6914 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  ~<_  om )
108106, 98, 107syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ran  ( x  e.  b  |->  ( F " x
) )  ~<_  om )
109 2ndci 17174 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( x  e.  b  |->  ( F "
x ) )  e.  TopBases 
/\  ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) )  ~<_  om )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  2ndc )
11096, 108, 109syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  ( topGen `
 ran  ( x  e.  b  |->  ( F
" x ) ) )  e.  2ndc )
11193, 110eqeltrrd 2358 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  b  e. 
TopBases )  /\  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J ) )  ->  K  e.  2ndc )
112111ex 423 . . 3  |-  ( (
ph  /\  b  e.  TopBases )  ->  ( ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  K  e.  2ndc ) )
113112rexlimdva 2667 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  K  e.  2ndc ) )
1143, 113mpd 14 1  |-  ( ph  ->  K  e.  2ndc )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   omcom 4656   `'ccnv 4688   dom cdm 4689   ran crn 4690   "cima 4692   Fun wfun 5249    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ~<_ cdom 6861   cardccrd 7568   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635    Cn ccn 16954   2ndcc2ndc 17164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-card 7572  df-acn 7575  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-cn 16957  df-2ndc 17166
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