MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcredom Unicode version

Theorem 2ndcredom 17176
Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcredom  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )

Proof of Theorem 2ndcredom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17172 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 tgdom 16716 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  ~<_  ~P x )
32adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  ~P x
)
4 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  om )
5 nnenom 11042 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
65ensymi 6911 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
7 domentr 6920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
84, 6, 7sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  NN )
9 pwdom 7013 . . . . . . . 8  |-  ( x  ~<_  NN  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
108, 9syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
11 rpnnen 12505 . . . . . . . 8  |-  RR  ~~  ~P NN
1211ensymi 6911 . . . . . . 7  |-  ~P NN  ~~  RR
13 domentr 6920 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P x  ~<_  ~P NN  /\ 
~P NN  ~~  RR )  ->  ~P x  ~<_  RR )
1410, 12, 13sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  RR )
15 domtr 6914 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  x )  ~<_  ~P x  /\  ~P x  ~<_  RR )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
163, 14, 15syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
17 breq1 4026 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  ( ( topGen `
 x )  ~<_  RR  <->  J  ~<_  RR ) )
1816, 17syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  J  ~<_  RR ) )
1918expimpd 586 . . 3  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR ) )
2019rexlimiv 2661 . 2  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR )
211, 20sylbi 187 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   omcom 4656   ` cfv 5255    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861   RRcr 8736   NNcn 9746   topGenctg 13342   TopBasesctb 16635   2ndcc2ndc 17164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-omul 6484  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-acn 7575  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-topgen 13344  df-2ndc 17166
  Copyright terms: Public domain W3C validator