MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcredom Unicode version

Theorem 2ndcredom 17474
Description: A second-countable space has at most the cardinality of the continuum. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcredom  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )

Proof of Theorem 2ndcredom
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17470 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 tgdom 17006 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  ~<_  ~P x )
32adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  ~P x
)
4 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  om )
5 nnenom 11282 . . . . . . . . . 10  |-  NN  ~~  om
65ensymi 7124 . . . . . . . . 9  |-  om  ~~  NN
7 domentr 7133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  om  ~~  NN )  ->  x  ~<_  NN )
84, 6, 7sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  x  ~<_  NN )
9 pwdom 7226 . . . . . . . 8  |-  ( x  ~<_  NN  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  ~P NN )
11 rpnnen 12789 . . . . . . . 8  |-  RR  ~~  ~P NN
1211ensymi 7124 . . . . . . 7  |-  ~P NN  ~~  RR
13 domentr 7133 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P x  ~<_  ~P NN  /\ 
~P NN  ~~  RR )  ->  ~P x  ~<_  RR )
1410, 12, 13sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ~P x  ~<_  RR )
15 domtr 7127 . . . . . 6  |-  ( ( ( topGen `  x )  ~<_  ~P x  /\  ~P x  ~<_  RR )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
163, 14, 15syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( topGen `  x )  ~<_  RR )
17 breq1 4183 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  ( ( topGen `
 x )  ~<_  RR  <->  J  ~<_  RR ) )
1816, 17syl5ibcom 212 . . . 4  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  x  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  x )  =  J  ->  J  ~<_  RR ) )
1918expimpd 587 . . 3  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR ) )
2019rexlimiv 2792 . 2  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  J  ~<_  RR )
211, 20sylbi 188 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  J  ~<_  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2675   ~Pcpw 3767   class class class wbr 4180   omcom 4812   ` cfv 5421    ~~ cen 7073    ~<_ cdom 7074   RRcr 8953   NNcn 9964   topGenctg 13628   TopBasesctb 16925   2ndcc2ndc 17462
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-acn 7793  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-topgen 13630  df-2ndc 17464
  Copyright terms: Public domain W3C validator