MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcsb Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcsb 17512
Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcsb  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Distinct variable group:    x, J

Proof of Theorem 2ndcsb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17509 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 df-rex 2711 . . . 4  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  <->  E. x ( x  e.  TopBases  /\  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x
)  =  J ) ) )
3 simprl 733 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  ~<_  om )
4 ssfii 7424 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
54adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
6 fvex 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen `  x )  e.  _V
7 bastg 17031 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( topGen `
 x ) )
87adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( topGen `  x
) )
9 fiss 7429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( topGen `  x )  e.  _V  /\  x  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( fi `  x )  C_  ( fi `  ( topGen `  x
) ) )
106, 8, 9sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( fi `  ( topGen `  x )
) )
11 tgcl 17034 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  e.  Top )
1211adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  e.  Top )
13 fitop 16973 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  x )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  x )
)  =  ( topGen `  x ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  ( topGen `
 x ) )  =  ( topGen `  x
) )
1510, 14sseqtrd 3384 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( topGen `  x ) )
16 2basgen 17055 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( fi `  x )  /\  ( fi `  x )  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( topGen `  x )  =  (
topGen `  ( fi `  x ) ) )
175, 15, 16syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
18 simprr 734 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  J )
1917, 18eqtr3d 2470 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )
203, 19jca 519 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
2120eximi 1585 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  TopBases 
/\  ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  x
)  =  J ) )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
222, 21sylbi 188 . . 3  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
231, 22sylbi 188 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
24 fibas 17042 . . . . 5  |-  ( fi
`  x )  e.  TopBases
25 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  x  ~<_  om )
26 vex 2959 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
27 fictb 8125 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
2925, 28sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( fi `  x )  ~<_  om )
30 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )
3129, 30jca 519 . . . . 5  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )
32 breq1 4215 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
y  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
33 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  ( topGen `
 y )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
3433eqeq1d 2444 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( topGen `  y )  =  J  <->  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
3532, 34anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J )  <->  ( ( fi `  x )  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) ) )
3635rspcev 3052 . . . . 5  |-  ( ( ( fi `  x
)  e.  TopBases  /\  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )  ->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
3724, 31, 36sylancr 645 . . . 4  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  E. y  e. 
TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
38 is2ndc 17509 . . . 4  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `
 y )  =  J ) )
3937, 38sylibr 204 . . 3  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4039exlimiv 1644 . 2  |-  ( E. x ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4123, 40impbii 181 1  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212   omcom 4845   ` cfv 5454    ~<_ cdom 7107   ficfi 7415   topGenctg 13665   Topctop 16958   TopBasesctb 16962   2ndcc2ndc 17501
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-card 7826  df-acn 7829  df-cda 8048  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-2ndc 17503
  Copyright terms: Public domain W3C validator