MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcsb Unicode version

Theorem 2ndcsb 17191
Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcsb  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Distinct variable group:    x, J

Proof of Theorem 2ndcsb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17188 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 df-rex 2562 . . . 4  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  <->  E. x ( x  e.  TopBases  /\  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x
)  =  J ) ) )
3 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  ~<_  om )
4 ssfii 7188 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
54adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
6 fvex 5555 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen `  x )  e.  _V
7 bastg 16720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( topGen `
 x ) )
87adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( topGen `  x
) )
9 fiss 7193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( topGen `  x )  e.  _V  /\  x  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( fi `  x )  C_  ( fi `  ( topGen `  x
) ) )
106, 8, 9sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( fi `  ( topGen `  x )
) )
11 tgcl 16723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  e.  Top )
1211adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  e.  Top )
13 fitop 16662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  x )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  x )
)  =  ( topGen `  x ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  ( topGen `
 x ) )  =  ( topGen `  x
) )
1510, 14sseqtrd 3227 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( topGen `  x ) )
16 2basgen 16744 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( fi `  x )  /\  ( fi `  x )  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( topGen `  x )  =  (
topGen `  ( fi `  x ) ) )
175, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
18 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  J )
1917, 18eqtr3d 2330 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )
203, 19jca 518 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
2120eximi 1566 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  TopBases 
/\  ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  x
)  =  J ) )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
222, 21sylbi 187 . . 3  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
231, 22sylbi 187 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
24 fibas 16731 . . . . 5  |-  ( fi
`  x )  e.  TopBases
25 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  x  ~<_  om )
26 vex 2804 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
27 fictb 7887 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
2925, 28sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( fi `  x )  ~<_  om )
30 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )
3129, 30jca 518 . . . . 5  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )
32 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
y  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
33 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  ( topGen `
 y )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
3433eqeq1d 2304 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( topGen `  y )  =  J  <->  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
3532, 34anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J )  <->  ( ( fi `  x )  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) ) )
3635rspcev 2897 . . . . 5  |-  ( ( ( fi `  x
)  e.  TopBases  /\  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )  ->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
3724, 31, 36sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  E. y  e. 
TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
38 is2ndc 17188 . . . 4  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `
 y )  =  J ) )
3937, 38sylibr 203 . . 3  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4039exlimiv 1624 . 2  |-  ( E. x ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4123, 40impbii 180 1  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   omcom 4672   ` cfv 5271    ~<_ cdom 6877   ficfi 7180   topGenctg 13358   Topctop 16647   TopBasesctb 16651   2ndcc2ndc 17180
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-card 7588  df-acn 7591  df-cda 7810  df-topgen 13360  df-top 16652  df-bases 16654  df-2ndc 17182
  Copyright terms: Public domain W3C validator