MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcsb Unicode version

Theorem 2ndcsb 17175
Description: Having a countable subbase is a sufficient condition for second-countability. (Contributed by Jeff Hankins, 17-Jan-2010.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
2ndcsb  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Distinct variable group:    x, J

Proof of Theorem 2ndcsb
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17172 . . 3  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )
2 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  <->  E. x ( x  e.  TopBases  /\  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x
)  =  J ) ) )
3 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  ~<_  om )
4 ssfii 7172 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
54adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( fi `  x ) )
6 fvex 5539 . . . . . . . . . 10  |-  ( topGen `  x )  e.  _V
7 bastg 16704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  x  C_  ( topGen `
 x ) )
87adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  ->  x  C_  ( topGen `  x
) )
9 fiss 7177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( topGen `  x )  e.  _V  /\  x  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( fi `  x )  C_  ( fi `  ( topGen `  x
) ) )
106, 8, 9sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( fi `  ( topGen `  x )
) )
11 tgcl 16707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  TopBases  ->  ( topGen `  x
)  e.  Top )
1211adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  e.  Top )
13 fitop 16646 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
topGen `  x )  e. 
Top  ->  ( fi `  ( topGen `  x )
)  =  ( topGen `  x ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  ( topGen `
 x ) )  =  ( topGen `  x
) )
1510, 14sseqtrd 3214 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( fi `  x
)  C_  ( topGen `  x ) )
16 2basgen 16728 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  C_  ( fi `  x )  /\  ( fi `  x )  C_  ( topGen `  x )
)  ->  ( topGen `  x )  =  (
topGen `  ( fi `  x ) ) )
175, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
18 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  x )  =  J )
1917, 18eqtr3d 2317 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )
203, 19jca 518 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  TopBases  /\  (
x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 x )  =  J ) )  -> 
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
2120eximi 1563 . . . 4  |-  ( E. x ( x  e.  TopBases 
/\  ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  x
)  =  J ) )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
222, 21sylbi 187 . . 3  |-  ( E. x  e.  TopBases  ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  x )  =  J )  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
231, 22sylbi 187 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x
( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
24 fibas 16715 . . . . 5  |-  ( fi
`  x )  e.  TopBases
25 simpl 443 . . . . . . 7  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  x  ~<_  om )
26 vex 2791 . . . . . . . 8  |-  x  e. 
_V
27 fictb 7871 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  _V  ->  (
x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
2826, 27ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( x  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
2925, 28sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( fi `  x )  ~<_  om )
30 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )
3129, 30jca 518 . . . . 5  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )
32 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
y  ~<_  om  <->  ( fi `  x )  ~<_  om )
)
33 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  ( topGen `
 y )  =  ( topGen `  ( fi `  x ) ) )
3433eqeq1d 2291 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( topGen `  y )  =  J  <->  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) )
3532, 34anbi12d 691 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( fi `  x )  ->  (
( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J )  <->  ( ( fi `  x )  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J ) ) )
3635rspcev 2884 . . . . 5  |-  ( ( ( fi `  x
)  e.  TopBases  /\  (
( fi `  x
)  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J ) )  ->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
3724, 31, 36sylancr 644 . . . 4  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  E. y  e. 
TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `  y )  =  J ) )
38 is2ndc 17172 . . . 4  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. y  e.  TopBases  ( y  ~<_  om  /\  ( topGen `
 y )  =  J ) )
3937, 38sylibr 203 . . 3  |-  ( ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `
 ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4039exlimiv 1666 . 2  |-  ( E. x ( x  ~<_  om 
/\  ( topGen `  ( fi `  x ) )  =  J )  ->  J  e.  2ndc )
4123, 40impbii 180 1  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. x ( x  ~<_  om  /\  ( topGen `  ( fi `  x
) )  =  J ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   omcom 4656   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861   ficfi 7164   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635   2ndcc2ndc 17164
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-card 7572  df-acn 7575  df-cda 7794  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-2ndc 17166
  Copyright terms: Public domain W3C validator