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Theorem 2ndcsep 17185
Description: A second-countable topology is separable, which is to say it contains a countable dense subset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2ndcsep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
2ndcsep  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, X

Proof of Theorem 2ndcsep
Dummy variables  f 
b  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17172 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
2 vex 2791 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
3 difss 3303 . . . . . . . . 9  |-  ( b 
\  { (/) } ) 
C_  b
4 ssdomg 6907 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  _V  ->  (
( b  \  { (/)
} )  C_  b  ->  ( b  \  { (/)
} )  ~<_  b ) )
52, 3, 4mp2 17 . . . . . . . 8  |-  ( b 
\  { (/) } )  ~<_  b
6 simpr 447 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  b  ~<_  om )
7 domtr 6914 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  \  { (/)
} )  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  (
b  \  { (/) } )  ~<_  om )
85, 6, 7sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( b 
\  { (/) } )  ~<_  om )
9 eldifsn 3749 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( b  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) ) )
10 n0 3464 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  y )
11 elunii 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  z  e.  U. b
)
12 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  z  e.  y )
1311, 12jca 518 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  ( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
1413expcom 424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  b  ->  (
z  e.  y  -> 
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) ) )
1514eximdv 1608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  b  ->  ( E. z  z  e.  y  ->  E. z ( z  e.  U. b  /\  z  e.  y )
) )
1615imp 418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  b  /\  E. z  z  e.  y )  ->  E. z
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
17 df-rex 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  U. b
z  e.  y  <->  E. z
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
1816, 17sylibr 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  b  /\  E. z  z  e.  y )  ->  E. z  e.  U. b z  e.  y )
1910, 18sylan2b 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  U. b z  e.  y )
209, 19sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( b  \  { (/) } )  ->  E. z  e.  U. b
z  e.  y )
2120rgen 2608 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ( b  \  { (/)
} ) E. z  e.  U. b z  e.  y
222uniex 4516 . . . . . . . 8  |-  U. b  e.  _V
23 eleq1 2343 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z  e.  y  <->  ( f `  y )  e.  y ) )
2422, 23axcc4dom 8067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  \  { (/)
} )  ~<_  om  /\  A. y  e.  ( b 
\  { (/) } ) E. z  e.  U. b z  e.  y )  ->  E. f
( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )
258, 21, 24sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  E. f
( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )
26 frn 5395 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ran  f  C_  U. b )
2726ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  C_  U. b )
28 vex 2791 . . . . . . . . . . . 12  |-  f  e. 
_V
2928rnex 4942 . . . . . . . . . . 11  |-  ran  f  e.  _V
3029elpw 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ran  f  e.  ~P U. b 
<->  ran  f  C_  U. b
)
3127, 30sylibr 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  e.  ~P U. b )
32 omelon 7347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  om  e.  On
336adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  b  ~<_  om )
34 ondomen 7664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( om  e.  On  /\  b  ~<_  om )  ->  b  e.  dom  card )
3532, 33, 34sylancr 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  b  e.  dom  card )
36 ssnum 7666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  e.  dom  card  /\  ( b  \  { (/)
} )  C_  b
)  ->  ( b  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
3735, 3, 36sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( b  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
38 ffn 5389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  f  Fn  ( b  \  { (/)
} ) )
3938ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  f  Fn  (
b  \  { (/) } ) )
40 dffn4 5457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  Fn  ( b  \  { (/) } )  <->  f :
( b  \  { (/)
} ) -onto-> ran  f
)
4139, 40sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  f : ( b  \  { (/) } ) -onto-> ran  f )
42 fodomnum 7684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  \  { (/) } )  e.  dom  card  -> 
( f : ( b  \  { (/) } ) -onto-> ran  f  ->  ran  f  ~<_  ( b  \  { (/) } ) ) )
4337, 41, 42sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  ~<_  ( b 
\  { (/) } ) )
448adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( b  \  { (/) } )  ~<_  om )
45 domtr 6914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ran  f  ~<_  ( b 
\  { (/) } )  /\  ( b  \  { (/) } )  ~<_  om )  ->  ran  f  ~<_  om )
4643, 44, 45syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  ~<_  om )
47 tgcl 16707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( topGen `  b
)  e.  Top )
4847ad2antrr 706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( topGen `  b
)  e.  Top )
49 unitg 16705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  e.  _V  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. b )
502, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( topGen `
 b )  = 
U. b
5150eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  U. b  =  U. ( topGen `  b
)
5251clsss3 16796 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( topGen `  b )  e.  Top  /\  ran  f  C_ 
U. b )  -> 
( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  C_ 
U. b )
5348, 27, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  ran  f ) 
C_  U. b )
54 ne0i 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
5554anim2i 552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) ) )
5655, 9sylibr 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  ( b 
\  { (/) } ) )
57 fnfvelrn 5662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( f  Fn  ( b 
\  { (/) } )  /\  y  e.  ( b  \  { (/) } ) )  ->  (
f `  y )  e.  ran  f )
5838, 57sylan 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  y  e.  ( b  \  { (/)
} ) )  -> 
( f `  y
)  e.  ran  f
)
59 inelcm 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  y  /\  ( f `  y
)  e.  ran  f
)  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) )
6059expcom 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( f `  y )  e.  ran  f  -> 
( ( f `  y )  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6158, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  y  e.  ( b  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( f `  y )  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6261ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( y  e.  ( b  \  { (/)
} )  ->  (
( f `  y
)  e.  y  -> 
( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6362a2d 23 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( y  e.  ( b  \  { (/)
} )  ->  (
y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6456, 63syl7 63 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( (
y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6564exp4a 589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( y  e.  b  ->  ( x  e.  y  ->  (
y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) ) )
6665ralimdv2 2623 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y  ->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6766imp 418 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y )  ->  A. y  e.  b 
( x  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6867ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) )
69 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  ( topGen `
 b )  =  ( topGen `  b )
)
7051a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  U. b  =  U. ( topGen `  b
) )
71 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  b  e. 
TopBases )
7227adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  ran  f  C_  U. b )
73 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  x  e.  U. b )
7469, 70, 71, 72, 73elcls3 16820 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen `  b ) ) `  ran  f )  <->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
7568, 74mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
7675ex 423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( x  e. 
U. b  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
) )
7776ssrdv 3185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  U. b  C_  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
7853, 77eqssd 3196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  ran  f )  =  U. b )
79 breq1 4026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( x  ~<_  om  <->  ran  f  ~<_  om ) )
80 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  =  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
8180eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b  <->  ( ( cls `  ( topGen `  b
) ) `  ran  f )  =  U. b ) )
8279, 81anbi12d 691 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b )  <->  ( ran  f  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  =  U. b ) ) )
8382rspcev 2884 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ran  f  e.  ~P U. b  /\  ( ran  f  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  =  U. b ) )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b ) )
8431, 46, 78, 83syl12anc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b ) )
8584ex 423 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b ) ) )
8685exlimdv 1664 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( E. f ( f : ( b  \  { (/)
} ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b ) ) )
8725, 86mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b ) )
88 unieq 3836 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. J )
89 2ndcsep.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
9088, 51, 893eqtr4g 2340 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. b  =  X )
9190pweqd 3630 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ~P U. b  =  ~P X )
92 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( cls `  ( topGen `  b )
)  =  ( cls `  J ) )
9392fveq1d 5527 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b
) ) `  x
)  =  ( ( cls `  J ) `
 x ) )
9493, 90eqeq12d 2297 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b  <->  ( ( cls `  J ) `  x )  =  X ) )
9594anbi2d 684 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
x  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b )  <->  ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X ) ) )
9691, 95rexeqbidv 2749 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( E. x  e.  ~P  U. b
( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b )  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
9787, 96syl5ibcom 211 . . . 4  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
9897impr 602 . . 3  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X ) )
9998rexlimiva 2662 . 2  |-  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
1001, 99sylbi 187 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    \ cdif 3149    i^i cin 3151    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   {csn 3640   U.cuni 3827   class class class wbr 4023   Oncon0 4392   omcom 4656   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861   cardccrd 7568   topGenctg 13342   Topctop 16631   TopBasesctb 16635   clsccl 16755   2ndcc2ndc 17164
This theorem is referenced by:  met2ndc  18069
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-card 7572  df-acn 7575  df-topgen 13344  df-top 16636  df-bases 16638  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-2ndc 17166
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