MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndcsep Structured version   Unicode version

Theorem 2ndcsep 17522
Description: A second-countable topology is separable, which is to say it contains a countable dense subset. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
2ndcsep.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
2ndcsep  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
Distinct variable groups:    x, J    x, X

Proof of Theorem 2ndcsep
Dummy variables  f 
b  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 is2ndc 17509 . 2  |-  ( J  e.  2ndc  <->  E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )
2 vex 2959 . . . . . . . . 9  |-  b  e. 
_V
3 difss 3474 . . . . . . . . 9  |-  ( b 
\  { (/) } ) 
C_  b
4 ssdomg 7153 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  _V  ->  (
( b  \  { (/)
} )  C_  b  ->  ( b  \  { (/)
} )  ~<_  b ) )
52, 3, 4mp2 9 . . . . . . . 8  |-  ( b 
\  { (/) } )  ~<_  b
6 simpr 448 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  b  ~<_  om )
7 domtr 7160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  \  { (/)
} )  ~<_  b  /\  b  ~<_  om )  ->  (
b  \  { (/) } )  ~<_  om )
85, 6, 7sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( b 
\  { (/) } )  ~<_  om )
9 eldifsn 3927 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( b  \  { (/) } )  <->  ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) ) )
10 n0 3637 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =/=  (/)  <->  E. z  z  e.  y )
11 elunii 4020 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  z  e.  U. b
)
12 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  z  e.  y )
1311, 12jca 519 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  y  /\  y  e.  b )  ->  ( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
1413expcom 425 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  b  ->  (
z  e.  y  -> 
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) ) )
1514eximdv 1632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  b  ->  ( E. z  z  e.  y  ->  E. z ( z  e.  U. b  /\  z  e.  y )
) )
1615imp 419 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  b  /\  E. z  z  e.  y )  ->  E. z
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
17 df-rex 2711 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z  e.  U. b
z  e.  y  <->  E. z
( z  e.  U. b  /\  z  e.  y ) )
1816, 17sylibr 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  b  /\  E. z  z  e.  y )  ->  E. z  e.  U. b z  e.  y )
1910, 18sylan2b 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) )  ->  E. z  e.  U. b z  e.  y )
209, 19sylbi 188 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( b  \  { (/) } )  ->  E. z  e.  U. b
z  e.  y )
2120rgen 2771 . . . . . . 7  |-  A. y  e.  ( b  \  { (/)
} ) E. z  e.  U. b z  e.  y
222uniex 4705 . . . . . . . 8  |-  U. b  e.  _V
23 eleq1 2496 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  y )  ->  (
z  e.  y  <->  ( f `  y )  e.  y ) )
2422, 23axcc4dom 8321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  \  { (/)
} )  ~<_  om  /\  A. y  e.  ( b 
\  { (/) } ) E. z  e.  U. b z  e.  y )  ->  E. f
( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )
258, 21, 24sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  E. f
( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )
26 frn 5597 . . . . . . . . 9  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ran  f  C_  U. b )
2726ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  C_  U. b )
28 vex 2959 . . . . . . . . . 10  |-  f  e. 
_V
2928rnex 5133 . . . . . . . . 9  |-  ran  f  e.  _V
3029elpw 3805 . . . . . . . 8  |-  ( ran  f  e.  ~P U. b 
<->  ran  f  C_  U. b
)
3127, 30sylibr 204 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  e.  ~P U. b )
32 omelon 7601 . . . . . . . . . . 11  |-  om  e.  On
336adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  b  ~<_  om )
34 ondomen 7918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( om  e.  On  /\  b  ~<_  om )  ->  b  e.  dom  card )
3532, 33, 34sylancr 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  b  e.  dom  card )
36 ssnum 7920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  dom  card  /\  ( b  \  { (/)
} )  C_  b
)  ->  ( b  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
3735, 3, 36sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( b  \  { (/) } )  e. 
dom  card )
38 ffn 5591 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  f  Fn  ( b  \  { (/)
} ) )
3938ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  f  Fn  (
b  \  { (/) } ) )
40 dffn4 5659 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  Fn  ( b  \  { (/) } )  <->  f :
( b  \  { (/)
} ) -onto-> ran  f
)
4139, 40sylib 189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  f : ( b  \  { (/) } ) -onto-> ran  f )
42 fodomnum 7938 . . . . . . . . 9  |-  ( ( b  \  { (/) } )  e.  dom  card  -> 
( f : ( b  \  { (/) } ) -onto-> ran  f  ->  ran  f  ~<_  ( b  \  { (/) } ) ) )
4337, 41, 42sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  ~<_  ( b 
\  { (/) } ) )
448adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( b  \  { (/) } )  ~<_  om )
45 domtr 7160 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  f  ~<_  ( b 
\  { (/) } )  /\  ( b  \  { (/) } )  ~<_  om )  ->  ran  f  ~<_  om )
4643, 44, 45syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ran  f  ~<_  om )
47 tgcl 17034 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  TopBases  ->  ( topGen `  b
)  e.  Top )
4847ad2antrr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( topGen `  b
)  e.  Top )
49 unitg 17032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  _V  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. b )
502, 49ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  U. ( topGen `
 b )  = 
U. b
5150eqcomi 2440 . . . . . . . . . 10  |-  U. b  =  U. ( topGen `  b
)
5251clsss3 17123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( topGen `  b )  e.  Top  /\  ran  f  C_ 
U. b )  -> 
( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  C_ 
U. b )
5348, 27, 52syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  ran  f ) 
C_  U. b )
54 ne0i 3634 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
5554anim2i 553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  ( y  e.  b  /\  y  =/=  (/) ) )
5655, 9sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  y  e.  ( b 
\  { (/) } ) )
57 fnfvelrn 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( f  Fn  ( b 
\  { (/) } )  /\  y  e.  ( b  \  { (/) } ) )  ->  (
f `  y )  e.  ran  f )
5838, 57sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  y  e.  ( b  \  { (/)
} ) )  -> 
( f `  y
)  e.  ran  f
)
59 inelcm 3682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f `  y
)  e.  y  /\  ( f `  y
)  e.  ran  f
)  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) )
6059expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f `  y )  e.  ran  f  -> 
( ( f `  y )  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6158, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  y  e.  ( b  \  { (/)
} ) )  -> 
( ( f `  y )  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6261ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( y  e.  ( b  \  { (/)
} )  ->  (
( f `  y
)  e.  y  -> 
( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6362a2d 24 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( y  e.  ( b  \  { (/)
} )  ->  (
y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6456, 63syl7 65 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( (
y  e.  b  /\  x  e.  y )  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6564exp4a 590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( (
y  e.  ( b 
\  { (/) } )  ->  ( f `  y )  e.  y )  ->  ( y  e.  b  ->  ( x  e.  y  ->  (
y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) ) )
6665ralimdv2 2786 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  ->  ( A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y  ->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
6766imp 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y )  ->  A. y  e.  b 
( x  e.  y  ->  ( y  i^i 
ran  f )  =/=  (/) ) )
6867ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) )
69 eqidd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  ( topGen `
 b )  =  ( topGen `  b )
)
7051a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  U. b  =  U. ( topGen `  b
) )
71 simplll 735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  b  e. 
TopBases )
7227adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  ran  f  C_  U. b )
73 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  x  e.  U. b )
7469, 70, 71, 72, 73elcls3 17147 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  (
x  e.  ( ( cls `  ( topGen `  b ) ) `  ran  f )  <->  A. y  e.  b  ( x  e.  y  ->  ( y  i^i  ran  f )  =/=  (/) ) ) )
7568, 74mpbird 224 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( b  e.  TopBases 
/\  b  ~<_  om )  /\  ( f : ( b  \  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  /\  x  e.  U. b )  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
7675ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( x  e. 
U. b  ->  x  e.  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
) )
7776ssrdv 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  U. b  C_  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
7853, 77eqssd 3365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  ran  f )  =  U. b )
79 breq1 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( x  ~<_  om  <->  ran  f  ~<_  om ) )
80 fveq2 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  =  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )
)
8180eqeq1d 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b  <->  ( ( cls `  ( topGen `  b
) ) `  ran  f )  =  U. b ) )
8279, 81anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ran  f  -> 
( ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b )  <->  ( ran  f  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  =  U. b ) ) )
8382rspcev 3052 . . . . . . 7  |-  ( ( ran  f  e.  ~P U. b  /\  ( ran  f  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 ran  f )  =  U. b ) )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b ) )
8431, 46, 78, 83syl12anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  /\  (
f : ( b 
\  { (/) } ) --> U. b  /\  A. y  e.  ( b  \  { (/) } ) ( f `  y )  e.  y ) )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  ( topGen `  b )
) `  x )  =  U. b ) )
8525, 84exlimddv 1648 . . . . 5  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  E. x  e.  ~P  U. b ( x  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b ) )
86 unieq 4024 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. ( topGen `
 b )  = 
U. J )
87 2ndcsep.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
8886, 51, 873eqtr4g 2493 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  U. b  =  X )
8988pweqd 3804 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ~P U. b  =  ~P X )
90 fveq2 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( cls `  ( topGen `  b )
)  =  ( cls `  J ) )
9190fveq1d 5730 . . . . . . . 8  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( ( cls `  ( topGen `  b
) ) `  x
)  =  ( ( cls `  J ) `
 x ) )
9291, 88eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b  <->  ( ( cls `  J ) `  x )  =  X ) )
9392anbi2d 685 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( (
x  ~<_  om  /\  (
( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b )  <->  ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X ) ) )
9489, 93rexeqbidv 2917 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  ( E. x  e.  ~P  U. b
( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  ( topGen `
 b ) ) `
 x )  = 
U. b )  <->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
9585, 94syl5ibcom 212 . . . 4  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  b  ~<_  om )  ->  ( (
topGen `  b )  =  J  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) ) )
9695impr 603 . . 3  |-  ( ( b  e.  TopBases  /\  (
b  ~<_  om  /\  ( topGen `
 b )  =  J ) )  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om 
/\  ( ( cls `  J ) `  x
)  =  X ) )
9796rexlimiva 2825 . 2  |-  ( E. b  e.  TopBases  ( b  ~<_  om  /\  ( topGen `  b )  =  J )  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
981, 97sylbi 188 1  |-  ( J  e.  2ndc  ->  E. x  e.  ~P  X ( x  ~<_  om  /\  ( ( cls `  J ) `
 x )  =  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2956    \ cdif 3317    i^i cin 3319    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ~Pcpw 3799   {csn 3814   U.cuni 4015   class class class wbr 4212   Oncon0 4581   omcom 4845   dom cdm 4878   ran crn 4879    Fn wfn 5449   -->wf 5450   -onto->wfo 5452   ` cfv 5454    ~<_ cdom 7107   cardccrd 7822   topGenctg 13665   Topctop 16958   TopBasesctb 16962   clsccl 17082   2ndcc2ndc 17501
This theorem is referenced by:  met2ndc  18553
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cc 8315
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-er 6905  df-map 7020  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-card 7826  df-acn 7829  df-topgen 13667  df-top 16963  df-bases 16965  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-2ndc 17503
  Copyright terms: Public domain W3C validator