Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2ndfcl Unicode version

Theorem 2ndfcl 13972
 Description: The second projection functor is a functor onto the right argument. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stfcl.t c
1stfcl.c
1stfcl.d
2ndfcl.p F
Assertion
Ref Expression
2ndfcl

Proof of Theorem 2ndfcl
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1stfcl.t . . . 4 c
2 eqid 2283 . . . . 5
3 eqid 2283 . . . . 5
41, 2, 3xpcbas 13952 . . . 4
5 eqid 2283 . . . 4
6 1stfcl.c . . . 4
7 1stfcl.d . . . 4
8 2ndfcl.p . . . 4 F
91, 4, 5, 6, 7, 82ndfval 13968 . . 3
10 fo2nd 6140 . . . . . . . 8
11 fofun 5452 . . . . . . . 8
1210, 11ax-mp 8 . . . . . . 7
13 fvex 5539 . . . . . . . 8
14 fvex 5539 . . . . . . . 8
1513, 14xpex 4801 . . . . . . 7
16 resfunexg 5737 . . . . . . 7
1712, 15, 16mp2an 653 . . . . . 6
1815, 15mpt2ex 6198 . . . . . 6
1917, 18op2ndd 6131 . . . . 5
209, 19syl 15 . . . 4
2120opeq2d 3803 . . 3
229, 21eqtr4d 2318 . 2
23 eqid 2283 . . . 4
24 eqid 2283 . . . 4
25 eqid 2283 . . . 4
26 eqid 2283 . . . 4 comp comp
27 eqid 2283 . . . 4 comp comp
281, 6, 7xpccat 13964 . . . 4
29 f2ndres 6142 . . . . 5
3029a1i 10 . . . 4
31 ovex 5883 . . . . . . . 8
32 resfunexg 5737 . . . . . . . 8
3312, 31, 32mp2an 653 . . . . . . 7
3433rgen2w 2611 . . . . . 6
35 eqid 2283 . . . . . . 7
3635fnmpt2 6192 . . . . . 6
3734, 36ax-mp 8 . . . . 5
3820fneq1d 5335 . . . . 5
3937, 38mpbiri 224 . . . 4
40 f2ndres 6142 . . . . . 6
416adantr 451 . . . . . . . . 9
427adantr 451 . . . . . . . . 9
43 simprl 732 . . . . . . . . 9
44 simprr 733 . . . . . . . . 9
451, 4, 5, 41, 42, 8, 43, 442ndf2 13970 . . . . . . . 8
46 eqid 2283 . . . . . . . . . 10
471, 4, 46, 23, 5, 43, 44xpchom 13954 . . . . . . . . 9
4847reseq2d 4955 . . . . . . . 8
4945, 48eqtrd 2315 . . . . . . 7
5049feq1d 5379 . . . . . 6
5140, 50mpbiri 224 . . . . 5
52 fvres 5542 . . . . . . . 8
5352ad2antrl 708 . . . . . . 7
54 fvres 5542 . . . . . . . 8
5554ad2antll 709 . . . . . . 7
5653, 55oveq12d 5876 . . . . . 6
5747, 56feq23d 5386 . . . . 5
5851, 57mpbird 223 . . . 4
5928adantr 451 . . . . . . . 8
60 simpr 447 . . . . . . . 8
614, 5, 24, 59, 60catidcl 13584 . . . . . . 7
62 fvres 5542 . . . . . . 7
6361, 62syl 15 . . . . . 6
64 1st2nd2 6159 . . . . . . . . . 10
6564adantl 452 . . . . . . . . 9
6665fveq2d 5529 . . . . . . . 8
676adantr 451 . . . . . . . . 9
687adantr 451 . . . . . . . . 9
69 eqid 2283 . . . . . . . . 9
70 xp1st 6149 . . . . . . . . . 10
7170adantl 452 . . . . . . . . 9
72 xp2nd 6150 . . . . . . . . . 10
7372adantl 452 . . . . . . . . 9
741, 67, 68, 2, 3, 69, 25, 24, 71, 73xpcid 13963 . . . . . . . 8
7566, 74eqtrd 2315 . . . . . . 7
76 fvex 5539 . . . . . . . 8
77 fvex 5539 . . . . . . . 8
7876, 77op2ndd 6131 . . . . . . 7
7975, 78syl 15 . . . . . 6
80 eqidd 2284 . . . . . 6
8163, 79, 803eqtrd 2319 . . . . 5
821, 4, 5, 67, 68, 8, 60, 602ndf2 13970 . . . . . 6
8382fveq1d 5527 . . . . 5
8452adantl 452 . . . . . 6
8584fveq2d 5529 . . . . 5
8681, 83, 853eqtr4d 2325 . . . 4
87283ad2ant1 976 . . . . . . . 8
88 simp21 988 . . . . . . . 8
89 simp22 989 . . . . . . . 8
90 simp23 990 . . . . . . . 8
91 simp3l 983 . . . . . . . 8
92 simp3r 984 . . . . . . . 8
934, 5, 26, 87, 88, 89, 90, 91, 92catcocl 13587 . . . . . . 7 comp
94 fvres 5542 . . . . . . 7 comp comp comp
9593, 94syl 15 . . . . . 6 comp comp
961, 4, 5, 26, 88, 89, 90, 91, 92, 27xpcco2nd 13959 . . . . . 6 comp comp
9795, 96eqtrd 2315 . . . . 5 comp comp
9863ad2ant1 976 . . . . . . 7
9973ad2ant1 976 . . . . . . 7
1001, 4, 5, 98, 99, 8, 88, 902ndf2 13970 . . . . . 6
101100fveq1d 5527 . . . . 5 comp comp
10288, 52syl 15 . . . . . . . 8
10389, 54syl 15 . . . . . . . 8
104102, 103opeq12d 3804 . . . . . . 7
105 fvres 5542 . . . . . . . 8
10690, 105syl 15 . . . . . . 7
107104, 106oveq12d 5876 . . . . . 6 comp comp
1081, 4, 5, 98, 99, 8, 89, 902ndf2 13970 . . . . . . . 8
109108fveq1d 5527 . . . . . . 7
110 fvres 5542 . . . . . . . 8
11192, 110syl 15 . . . . . . 7
112109, 111eqtrd 2315 . . . . . 6
1131, 4, 5, 98, 99, 8, 88, 892ndf2 13970 . . . . . . . 8
114113fveq1d 5527 . . . . . . 7
115 fvres 5542 . . . . . . . 8
11691, 115syl 15 . . . . . . 7
117114, 116eqtrd 2315 . . . . . 6
118107, 112, 117oveq123d 5879 . . . . 5 comp comp
11997, 101, 1183eqtr4d 2325 . . . 4 comp comp
1204, 3, 5, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 7, 30, 39, 58, 86, 119isfuncd 13739 . . 3
121 df-br 4024 . . 3
122120, 121sylib 188 . 2
12322, 122eqeltrd 2357 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543  cvv 2788  cop 3643   class class class wbr 4023   cxp 4687   cres 4691   wfun 5249   wfn 5250  wf 5251  wfo 5253  cfv 5255  (class class class)co 5858   cmpt2 5860  c1st 6120  c2nd 6121  cbs 13148   chom 13219  compcco 13220  ccat 13566  ccid 13567   cfunc 13728   c cxpc 13942   F c2ndf 13944 This theorem is referenced by:  prf2nd  13979  1st2ndprf  13980  uncfcl  14009  uncf1  14010  uncf2  14011  curf2ndf  14021  yonedalem1  14046  yonedalem21  14047  yonedalem22  14052 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-fz 10783  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-hom 13232  df-cco 13233  df-cat 13570  df-cid 13571  df-func 13732  df-xpc 13946  df-2ndf 13948
 Copyright terms: Public domain W3C validator