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Theorem 2ndmbfm 24603
Description: The second projection map is measurable with regard to the product sigma algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
2ndmbfm  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM T ) )

Proof of Theorem 2ndmbfm
Dummy variables  z 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f2ndres 6361 . . . 4  |-  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T
2 1stmbfm.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 1stmbfm.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4 sxuni 24539 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
52, 3, 4syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
65feq2d 5573 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
) )
71, 6mpbii 203 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
)
8 unielsiga 24503 . . . . 5  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
93, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
10 sxsiga 24537 . . . . . 6  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
112, 3, 10syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 unielsiga 24503 . . . . 5  |-  ( ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra 
->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
1311, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
14 elmapg 7023 . . . 4  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
) )
159, 13, 14syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T ) )
167, 15mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) ) )
17 sgon 24499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
183, 17syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
19 sigasspw 24491 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  ->  T  C_  ~P U. T )
20 pwssb 4169 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T 
C_  ~P U. T  <->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2120biimpi 187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( T 
C_  ~P U. T  ->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2218, 19, 213syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2322r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  a  C_ 
U. T )
24 xpss2 4977 . . . . . . . . 9  |-  ( a 
C_  U. T  ->  ( U. S  X.  a
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( U. S  X.  a
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2625sseld 3339 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  -> 
z  e.  ( U. S  X.  U. T ) ) )
2726pm4.71rd 617 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) ) )
28 ffn 5583 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T ) )
29 elpreima 5842 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T )  ->  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) "
a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) ) )
301, 28, 29mp2b 10 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) )
31 fvres 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) `  z
)  =  ( 2nd `  z ) )
3231eleq1d 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
( 2nd `  z
)  e.  a ) )
33 1st2nd2 6378 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
34 xp1st 6368 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( 1st `  z
)  e.  U. S
)
35 elxp6 6370 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  z
)  e.  a ) ) )
36 anass 631 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  /\  ( 2nd `  z )  e.  a )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  z
)  e.  a ) ) )
3735, 36bitr4i 244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  /\  ( 2nd `  z )  e.  a ) )
3837baib 872 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( 2nd `  z )  e.  a ) )
3933, 34, 38syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( z  e.  ( U. S  X.  a
)  <->  ( 2nd `  z
)  e.  a ) )
4032, 39bitr4d 248 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4140pm5.32i 619 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4230, 41bitri 241 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4327, 42syl6rbbr 256 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  <->  z  e.  ( U. S  X.  a
) ) )
4443eqrdv 2433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  =  ( U. S  X.  a ) )
452adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
463adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
47 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  U. S  =  U. S
48 issgon 24498 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  <-> 
( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  =  U. S ) )
4948biimpri 198 . . . . . . . 8  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  =  U. S
)  ->  S  e.  (sigAlgebra `
 U. S ) )
502, 47, 49sylancl 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
51 baselsiga 24490 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  ->  U. S  e.  S
)
5250, 51syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
5352adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  U. S  e.  S )
54 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  a  e.  T )
55 elsx 24540 . . . . 5  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  /\  ( U. S  e.  S  /\  a  e.  T ) )  -> 
( U. S  X.  a )  e.  ( S ×s  T ) )
5645, 46, 53, 54, 55syl22anc 1185 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( U. S  X.  a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5744, 56eqeltrd 2509 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5857ralrimiva 2781 . 2  |-  ( ph  ->  A. a  e.  T  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5911, 3ismbfm 24594 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM T )  <-> 
( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  T  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) ) )
6016, 58, 59mpbir2and 889 1  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( ( S ×s  T )MblFnM T ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697    C_ wss 3312   ~Pcpw 3791   <.cop 3809   U.cuni 4007    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   ran crn 4871    |` cres 4872   "cima 4873    Fn wfn 5441   -->wf 5442   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340    ^m cmap 7010  sigAlgebracsiga 24482   ×s csx 24534  MblFnMcmbfm 24592
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-map 7012  df-siga 24483  df-sigagen 24514  df-sx 24535  df-mbfm 24593
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