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Theorem 2ndmbfm 23568
Description: The second projection map is measurable with regard to the product sigma algebra (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
1stmbfm.1  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
1stmbfm.2  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
Assertion
Ref Expression
2ndmbfm  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  (MblFnM `  <. ( S ×s  T ) ,  T >. )
)

Proof of Theorem 2ndmbfm
Dummy variables  z 
a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f2ndres 6144 . . . . 5  |-  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T
2 1stmbfm.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
3 1stmbfm.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4 sxuni 23526 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
52, 3, 4syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( U. S  X.  U. T )  =  U. ( S ×s  T ) )
65feq2d 5382 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
) )
71, 6mpbii 202 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
)
8 unielsiga 23491 . . . . . 6  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  U. T  e.  T )
93, 8syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. T  e.  T
)
10 sxsiga 23524 . . . . . . 7  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  -> 
( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
112, 3, 10syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra )
12 unielsiga 23491 . . . . . 6  |-  ( ( S ×s  T )  e.  U. ran sigAlgebra 
->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
1311, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )
14 elmapg 6787 . . . . 5  |-  ( ( U. T  e.  T  /\  U. ( S ×s  T )  e.  ( S ×s  T ) )  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T
) )
159, 13, 14syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  <->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : U. ( S ×s  T ) --> U. T ) )
167, 15mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) ) )
17 sgon 23487 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T  e.  U. ran sigAlgebra  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
183, 17syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  (sigAlgebra `  U. T ) )
19 sigasspw 23479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T  e.  (sigAlgebra `  U. T )  ->  T  C_  ~P U. T )
20 pwssb 3990 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( T 
C_  ~P U. T  <->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2120biimpi 186 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( T 
C_  ~P U. T  ->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2218, 19, 213syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. a  e.  T  a  C_  U. T )
2322r19.21bi 2643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  a  C_ 
U. T )
24 xpss2 4798 . . . . . . . . . 10  |-  ( a 
C_  U. T  ->  ( U. S  X.  a
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2523, 24syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( U. S  X.  a
)  C_  ( U. S  X.  U. T ) )
2625sseld 3181 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  -> 
z  e.  ( U. S  X.  U. T ) ) )
2726pm4.71rd 616 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) ) )
28 ffn 5391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) : ( U. S  X.  U. T ) --> U. T  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T ) )
29 elpreima 5647 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) )  Fn  ( U. S  X.  U. T )  ->  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) "
a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) ) )
301, 28, 29mp2b 9 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  (
( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a ) )
31 fvres 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) `  z
)  =  ( 2nd `  z ) )
3231eleq1d 2351 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
( 2nd `  z
)  e.  a ) )
33 1st2nd2 6161 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >. )
34 xp1st 6151 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( 1st `  z
)  e.  U. S
)
35 elxp6 6153 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  z
)  e.  a ) ) )
36 anass 630 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  /\  ( 2nd `  z )  e.  a )  <->  ( z  =  <. ( 1st `  z
) ,  ( 2nd `  z ) >.  /\  (
( 1st `  z
)  e.  U. S  /\  ( 2nd `  z
)  e.  a ) ) )
3735, 36bitr4i 243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( (
z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  /\  ( 2nd `  z )  e.  a ) )
3837baib 871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  =  <. ( 1st `  z ) ,  ( 2nd `  z
) >.  /\  ( 1st `  z )  e.  U. S )  ->  (
z  e.  ( U. S  X.  a )  <->  ( 2nd `  z )  e.  a ) )
3933, 34, 38syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( z  e.  ( U. S  X.  a
)  <->  ( 2nd `  z
)  e.  a ) )
4032, 39bitr4d 247 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  -> 
( ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a  <-> 
z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4140pm5.32i 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) `  z )  e.  a )  <->  ( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4230, 41bitri 240 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T ) ) " a )  <-> 
( z  e.  ( U. S  X.  U. T )  /\  z  e.  ( U. S  X.  a ) ) )
4327, 42syl6rbbr 255 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  (
z  e.  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  <->  z  e.  ( U. S  X.  a
) ) )
4443eqrdv 2283 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  =  ( U. S  X.  a ) )
452adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  S  e.  U. ran sigAlgebra )
463adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  T  e.  U. ran sigAlgebra )
4745, 46jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra ) )
48 eqid 2285 . . . . . . . . . 10  |-  U. S  =  U. S
49 issgon 23486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  <-> 
( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  =  U. S ) )
5049biimpri 197 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  U. S  =  U. S
)  ->  S  e.  (sigAlgebra `
 U. S ) )
512, 48, 50sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  (sigAlgebra `  U. S ) )
52 baselsiga 23478 . . . . . . . . 9  |-  ( S  e.  (sigAlgebra `  U. S )  ->  U. S  e.  S
)
5351, 52syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. S  e.  S
)
5453adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  U. S  e.  S )
55 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  a  e.  T )
5654, 55jca 518 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( U. S  e.  S  /\  a  e.  T
) )
57 elsx 23527 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  e.  U. ran sigAlgebra  /\  T  e.  U. ran sigAlgebra )  /\  ( U. S  e.  S  /\  a  e.  T ) )  -> 
( U. S  X.  a )  e.  ( S ×s  T ) )
5847, 56, 57syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( U. S  X.  a
)  e.  ( S ×s  T ) )
5944, 58eqeltrd 2359 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  T )  ->  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
6059ralrimiva 2628 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  T  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) )
6116, 60jca 518 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  T  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) )
6211, 3ismbfm 23559 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  (MblFnM `  <. ( S ×s  T ) ,  T >. )  <->  ( ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  ( U. T  ^m  U. ( S ×s  T ) )  /\  A. a  e.  T  ( `' ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) ) " a
)  e.  ( S ×s  T ) ) ) )
6361, 62mpbird 223 1  |-  ( ph  ->  ( 2nd  |`  ( U. S  X.  U. T
) )  e.  (MblFnM `  <. ( S ×s  T ) ,  T >. )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686   A.wral 2545    C_ wss 3154   ~Pcpw 3627   <.cop 3645   U.cuni 3829    X. cxp 4689   `'ccnv 4690   ran crn 4692    |` cres 4693   "cima 4694    Fn wfn 5252   -->wf 5253   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   1stc1st 6122   2ndc2nd 6123    ^m cmap 6774  sigAlgebracsiga 23470   ×s csx 23521  MblFnMcmbfm 23557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-map 6776  df-siga 23471  df-sigagen 23502  df-sx 23522  df-mbfm 23558
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