MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2nn Unicode version

Theorem 2nn 9877
Description: 2 is a natural number. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.)
Assertion
Ref Expression
2nn  |-  2  e.  NN

Proof of Theorem 2nn
StepHypRef Expression
1 df-2 9804 . 2  |-  2  =  ( 1  +  1 )
2 1nn 9757 . . 3  |-  1  e.  NN
3 peano2nn 9758 . . 3  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
1  +  1 )  e.  NN )
42, 3ax-mp 8 . 2  |-  ( 1  +  1 )  e.  NN
51, 4eqeltri 2353 1  |-  2  e.  NN
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 1684  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740   NNcn 9746   2c2 9795
This theorem is referenced by:  3nn  9878  2nn0  9982  2z  10054  sqeq0  11168  expmulnbnd  11233  sqeq0d  11244  faclbnd5  11311  bcn2  11331  climcndslem1  12308  climcndslem2  12309  climcnds  12310  harmonic  12317  geo2sum  12329  geo2lim  12331  efcllem  12359  ege2le3  12371  ef01bndlem  12464  egt2lt3  12484  nthruc  12529  bits0o  12621  bitsp1  12622  bitsfzolem  12625  bitsfzo  12626  bitsmod  12627  bitsfi  12628  bitscmp  12629  bitsinv1lem  12632  bitsinv1  12633  2ebits  12638  bitsinvp1  12640  sadcaddlem  12648  sadadd3  12652  sadaddlem  12657  sadasslem  12661  bitsres  12664  bitsuz  12665  bitsshft  12666  smumullem  12683  smumul  12684  sqgcd  12737  isprm3  12767  3prm  12775  pythagtriplem4  12872  iserodd  12888  prmreclem3  12965  prmreclem5  12967  prmreclem6  12968  4sqlem12  13003  vdwlem3  13030  vdwlem9  13036  vdwlem10  13037  dec2dvds  13078  dec5nprm  13081  dec2nprm  13082  2expltfac  13105  4nprm  13106  5prm  13110  6nprm  13111  7prm  13112  8nprm  13113  10nprm  13115  11prm  13116  17prm  13118  23prm  13120  37prm  13122  43prm  13123  83prm  13124  139prm  13125  163prm  13126  317prm  13127  631prm  13128  1259lem1  13129  1259lem2  13130  1259lem3  13131  1259lem4  13132  1259lem5  13133  1259prm  13134  2503lem1  13135  2503lem2  13136  2503lem3  13137  2503prm  13138  4001lem1  13139  4001lem2  13140  4001lem3  13141  4001lem4  13142  4001prm  13143  plusgndx  13242  plusgid  13243  grpstr  13247  grpbase  13248  grpplusg  13249  ressplusg  13250  rngstr  13255  lmodstr  13272  topgrpstr  13295  dsndx  13309  dsid  13310  odrngstr  13311  ressds  13318  imasvalstr  13352  lt6abl  15181  mgpds  15335  oppradd  15412  sraaddg  15932  srads  15938  opsrplusg  16221  cnfldstr  16379  zlmplusg  16473  znadd  16494  tmslem  18028  tngplusg  18158  ovollb2lem  18847  ovolunlem1a  18855  ovolunlem1  18856  ovoliunlem1  18861  ovoliunlem3  18863  dyadf  18946  dyadovol  18948  dyadss  18949  dyaddisjlem  18950  dyadmaxlem  18952  opnmbllem  18956  mbfi1fseqlem1  19070  mbfi1fseqlem3  19072  mbfi1fseqlem4  19073  mbfi1fseqlem5  19074  mbfi1fseqlem6  19075  dveflem  19326  aaliou3lem9  19730  dcubic1lem  20139  dcubic2  20140  mcubic  20143  quartlem1  20153  quartlem2  20154  basellem1  20318  basellem2  20319  basellem3  20320  basellem4  20321  basellem5  20322  basellem6  20323  basellem7  20324  basellem8  20325  basellem9  20326  ppiltx  20415  prmorcht  20416  1sgm2ppw  20439  ppiublem1  20441  ppiub  20443  chtlepsi  20445  chtublem  20450  chpub  20459  mersenne  20466  perfect1  20467  perfectlem1  20468  perfectlem2  20469  perfect  20470  pcbcctr  20515  bclbnd  20519  bposlem1  20523  bposlem2  20524  bposlem3  20525  bposlem4  20526  bposlem5  20527  bposlem6  20528  bposlem8  20530  lgsdir2lem2  20563  lgsqr  20585  lgseisenlem1  20588  lgseisenlem2  20589  lgseisenlem3  20590  lgseisenlem4  20591  lgsquadlem1  20593  lgsquadlem2  20594  lgsquad2lem2  20598  2sqlem3  20605  2sqlem8  20611  chebbnd1lem1  20618  chebbnd1lem3  20620  chtppilimlem1  20622  logdivsum  20682  log2sumbnd  20693  pntlemd  20743  pntlema  20745  pntlemb  20746  pntlemf  20754  pntlemo  20756  ostth2lem1  20767  ex-xp  20823  ex-cnv  20824  ex-rn  20827  ex-ima  20829  ballotlem2  23047  zetacvg  23689  eupath2lem3  23903  konigsberg  23911  axlowdimlem5  24574  axlowdimlem6  24575  axlowdimlem16  24585  axlowdimlem17  24586  axlowdim  24589  dvreasin  24923  areacirclem2  24925  areacirclem3  24926  fnckle  26045  pgapspf2  26053  heiborlem3  26537  heiborlem5  26539  heiborlem6  26540  heiborlem7  26541  heiborlem8  26542  heibor  26545  rabren3dioph  26898  rmxypos  27034  ltrmynn0  27035  jm2.17a  27047  jm2.17b  27048  jm2.17c  27049  acongrep  27067  acongeq  27070  jm2.23  27089  jm2.27a  27098  jm2.27c  27100  rmydioph  27107  rmxdioph  27109  expdiophlem2  27115  expdioph  27116  frlmpwfi  27262  psgnunilem2  27418  lhe4.4ex1a  27546  wallispilem5  27818  wallispi2lem1  27820  wallispi2  27822  stirlinglem3  27825  stirlinglem8  27830  stirlinglem10  27832  stirlinglem15  27837  f1oun2prg  28076  usgraexmpl  28133  hlhilsplus  32133
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-1cn 8795
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-nn 9747  df-2 9804
  Copyright terms: Public domain W3C validator