Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pol0N Unicode version

Theorem 2pol0N 30397
Description: The closed subspace closure of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
2pol0.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
2pol0N  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (/) ) )  =  (/) )

Proof of Theorem 2pol0N
StepHypRef Expression
1 eqid 2408 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
2 2pol0.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
31, 2pol0N 30395 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (/) )  =  (
Atoms `  K ) )
43fveq2d 5695 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (/) ) )  =  (  ._|_  `  ( Atoms `  K ) ) )
51, 2pol1N 30396 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  ( Atoms `  K
) )  =  (/) )
64, 5eqtrd 2440 1  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (/) ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   (/)c0 3592   ` cfv 5417   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   _|_ PcpolN 30388
This theorem is referenced by:  pcl0N  30408  0psubclN  30429
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-pmap 29990  df-polarityN 30389
  Copyright terms: Public domain W3C validator