Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2pol0N Structured version   Unicode version

Theorem 2pol0N 30806
Description: The closed subspace closure of the empty set. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
2pol0.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
2pol0N  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (/) ) )  =  (/) )

Proof of Theorem 2pol0N
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
2 2pol0.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
31, 2pol0N 30804 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (/) )  =  (
Atoms `  K ) )
43fveq2d 5761 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (/) ) )  =  (  ._|_  `  ( Atoms `  K ) ) )
51, 2pol1N 30805 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  ( Atoms `  K
) )  =  (/) )
64, 5eqtrd 2474 1  |-  ( K  e.  HL  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (/) ) )  =  (/) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   (/)c0 3613   ` cfv 5483   Atomscatm 30159   HLchlt 30246   _|_ PcpolN 30797
This theorem is referenced by:  pcl0N  30817  0psubclN  30838
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-iin 4120  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-undef 6572  df-riota 6578  df-poset 14434  df-plt 14446  df-lub 14462  df-glb 14463  df-join 14464  df-meet 14465  df-p0 14499  df-p1 14500  df-lat 14506  df-clat 14568  df-oposet 30072  df-ol 30074  df-oml 30075  df-covers 30162  df-ats 30163  df-atl 30194  df-cvlat 30218  df-hlat 30247  df-pmap 30399  df-polarityN 30798
  Copyright terms: Public domain W3C validator