Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2polcon4bN Unicode version

Theorem 2polcon4bN 30107
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2polss.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
2polcon4bN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem 2polcon4bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  K  e.  HL )
3 2polss.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 2polss.p . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
53, 4polssatN 30097 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  A )
653adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  A )
73, 4polssatN 30097 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  C_  A
)
82, 6, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  C_  A
)
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  A )
10 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
113, 4polcon3N 30106 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  C_  A  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
121, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
1312ex 423 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
143, 43polN 30105 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( 
._|_  `  Y ) )
15143adant2 974 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  (  ._|_  `  Y ) )
163, 43polN 30105 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
17163adant3 975 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  (  ._|_  `  X ) )
1815, 17sseq12d 3207 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  <->  (  ._|_  `  Y
)  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
1913, 18sylibd 205 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
20 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  K  e.  HL )
213, 4polssatN 30097 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )
22213adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  X )  C_  A )
2322adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  X )  C_  A
)
24 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )
253, 4polcon3N 30106 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  X )  C_  A  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2620, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2726ex 423 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
2819, 27impbid 183 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   _|_ PcpolN 30091
This theorem is referenced by:  paddunN  30116
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-polarityN 30092
  Copyright terms: Public domain W3C validator