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Theorem 2polcon4bN 30729
Description: Contraposition law for polarity. (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
2polss.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2polss.p  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
2polcon4bN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem 2polcon4bN
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  K  e.  HL )
3 2polss.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 2polss.p . . . . . . . . 9  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
53, 4polssatN 30719 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  A )
653adant2 974 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  A )
73, 4polssatN 30719 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  C_  A
)
82, 6, 7syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) )  C_  A
)
98adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) 
C_  A )
10 simpr 447 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
113, 4polcon3N 30728 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  C_  A  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) ) )
121, 9, 10, 11syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y
) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
1312ex 423 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) ) )
143, 43polN 30727 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  ( 
._|_  `  Y ) )
15143adant2 974 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  =  (  ._|_  `  Y ) )
163, 43polN 30727 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  ( 
._|_  `  X ) )
17163adant3 975 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  (  ._|_  `  X ) )
1815, 17sseq12d 3220 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  <->  (  ._|_  `  Y
)  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
1913, 18sylibd 205 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  -> 
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
20 simpl1 958 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  K  e.  HL )
213, 4polssatN 30719 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )
22213adant3 975 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (  ._|_  `  X )  C_  A )
2322adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  X )  C_  A
)
24 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )
253, 4polcon3N 30728 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  X )  C_  A  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2620, 23, 24, 25syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) )
2726ex 423 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) ) ) )
2819, 27impbid 183 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  Y ) )  <->  (  ._|_  `  Y )  C_  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ` cfv 5271   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   _|_ PcpolN 30713
This theorem is referenced by:  paddunN  30738
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-polarityN 30714
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