MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2prm Structured version   Unicode version

Theorem 2prm 13100
Description: 2 is a prime number. (Contributed by Paul Chapman, 22-Jun-2011.) (Proof shortened by Fan Zheng, 16-Jun-2016.)
Assertion
Ref Expression
2prm  |-  2  e.  Prime

Proof of Theorem 2prm
StepHypRef Expression
1 2z 10317 . . 3  |-  2  e.  ZZ
2 1lt2 10147 . . 3  |-  1  <  2
3 eluz2b1 10552 . . 3  |-  ( 2  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  1  <  2 ) )
41, 2, 3mpbir2an 888 . 2  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
5 ral0 3734 . . 3  |-  A. z  e.  (/)  -.  z  ||  2
6 fzssuz 11098 . . . . . 6  |-  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  C_  ( ZZ>= `  2 )
7 df-ss 3336 . . . . . 6  |-  ( ( 2 ... ( 2  -  1 ) ) 
C_  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  2 )
)  =  ( 2 ... ( 2  -  1 ) ) )
86, 7mpbi 201 . . . . 5  |-  ( ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  2
) )  =  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )
9 uzdisj 11124 . . . . 5  |-  ( ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  i^i  ( ZZ>= `  2
) )  =  (/)
108, 9eqtr3i 2460 . . . 4  |-  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  =  (/)
1110raleqi 2910 . . 3  |-  ( A. z  e.  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  -.  z  ||  2  <->  A. z  e.  (/)  -.  z  ||  2 )
125, 11mpbir 202 . 2  |-  A. z  e.  ( 2 ... (
2  -  1 ) )  -.  z  ||  2
13 isprm3 13093 . 2  |-  ( 2  e.  Prime  <->  ( 2  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. z  e.  ( 2 ... ( 2  -  1 ) )  -.  z  ||  2
) )
144, 12, 13mpbir2an 888 1  |-  2  e.  Prime
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1c1 8996    < clt 9125    - cmin 9296   2c2 10054   ZZcz 10287   ZZ>=cuz 10493   ...cfz 11048    || cdivides 12857   Primecprime 13084
This theorem is referenced by:  divgcdodd  13124  oddprm  13194  pythagtriplem4  13198  pc2dvds  13257  prmlem0  13433  prmlem1a  13434  lt6abl  15509  ppi2  20958  cht2  20960  1sgm2ppw  20989  perfectlem1  21018  perfectlem2  21019  perfect  21020  bpos1  21072  lgs2  21102  lgsdir2  21117  lgseisenlem2  21139  lgsquad2lem1  21147  lgsquad2lem2  21148  lgsquad3  21150  m1lgs  21151  dchrisum0flb  21209  eupath2lem3  21706  jm2.22  27079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-nn 10006  df-2 10063  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-fz 11049  df-dvds 12858  df-prm 13085
  Copyright terms: Public domain W3C validator