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Theorem 2pwuninel 7229
Description: The power set of the power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set. (Contributed by NM, 27-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
2pwuninel  |-  -.  ~P ~P U. A  e.  A

Proof of Theorem 2pwuninel
StepHypRef Expression
1 sdomirr 7211 . . 3  |-  -.  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A
2 elssuni 4011 . . . 4  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  C_  U. A )
3 ssdomg 7120 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  C_ 
U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<_  U. A
) )
4 canth2g 7228 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  ~<  ~P U. A
)
5 pwexb 4720 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  e.  _V  <->  ~P U. A  e.  _V )
6 canth2g 7228 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  ->  ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A )
75, 6sylbi 188 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ~P
U. A  ~<  ~P ~P U. A )
8 sdomtr 7212 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  ~<  ~P U. A  /\  ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A
)  ->  U. A  ~<  ~P ~P U. A )
94, 7, 8syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  ~<  ~P ~P U. A )
10 domsdomtr 7209 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  /\  U. A  ~<  ~P ~P U. A
)  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A )
1110ex 424 . . . . . 6  |-  ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  ->  ( U. A  ~<  ~P ~P U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
129, 11syl5com 28 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
133, 12syld 42 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  C_ 
U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
142, 13syl5 30 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
151, 14mtoi 171 . 2  |-  ( U. A  e.  _V  ->  -. 
~P ~P U. A  e.  A )
16 elex 2932 . . . 4  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  e.  _V )
17 pwexb 4720 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  <->  ~P ~P U. A  e. 
_V )
185, 17bitri 241 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  <->  ~P ~P U. A  e.  _V )
1916, 18sylibr 204 . . 3  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  U. A  e. 
_V )
2019con3i 129 . 2  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  -.  ~P ~P U. A  e.  A )
2115, 20pm2.61i 158 1  |-  -.  ~P ~P U. A  e.  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1721   _Vcvv 2924    C_ wss 3288   ~Pcpw 3767   U.cuni 3983   class class class wbr 4180    ~<_ cdom 7074    ~< csdm 7075
This theorem is referenced by:  mnfnre  9092
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-ral 2679  df-rex 2680  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079
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