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Theorem 2pwuninel 7016
Description: The power set of the power set of the union of a set does not belong to the set. This theorem provides a way of constructing a new set that doesn't belong to a given set. (Contributed by NM, 27-Jun-2008.)
Assertion
Ref Expression
2pwuninel  |-  -.  ~P ~P U. A  e.  A

Proof of Theorem 2pwuninel
StepHypRef Expression
1 sdomirr 6998 . . 3  |-  -.  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A
2 elssuni 3855 . . . 4  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  C_  U. A )
3 ssdomg 6907 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  C_ 
U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<_  U. A
) )
4 canth2g 7015 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  ~<  ~P U. A
)
5 pwexb 4564 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  e.  _V  <->  ~P U. A  e.  _V )
6 canth2g 7015 . . . . . . . 8  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  ->  ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A )
75, 6sylbi 187 . . . . . . 7  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ~P
U. A  ~<  ~P ~P U. A )
8 sdomtr 6999 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  ~<  ~P U. A  /\  ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A
)  ->  U. A  ~<  ~P ~P U. A )
94, 7, 8syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( U. A  e.  _V  ->  U. A  ~<  ~P ~P U. A )
10 domsdomtr 6996 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  /\  U. A  ~<  ~P ~P U. A
)  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A )
1110ex 423 . . . . . 6  |-  ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  ->  ( U. A  ~<  ~P ~P U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
129, 11syl5com 26 . . . . 5  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  ~<_  U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
133, 12syld 40 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  C_ 
U. A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
142, 13syl5 28 . . 3  |-  ( U. A  e.  _V  ->  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  ~<  ~P ~P U. A ) )
151, 14mtoi 169 . 2  |-  ( U. A  e.  _V  ->  -. 
~P ~P U. A  e.  A )
16 elex 2796 . . . 4  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  ~P ~P U. A  e.  _V )
17 pwexb 4564 . . . . 5  |-  ( ~P
U. A  e.  _V  <->  ~P ~P U. A  e. 
_V )
185, 17bitri 240 . . . 4  |-  ( U. A  e.  _V  <->  ~P ~P U. A  e.  _V )
1916, 18sylibr 203 . . 3  |-  ( ~P ~P U. A  e.  A  ->  U. A  e. 
_V )
2019con3i 127 . 2  |-  ( -. 
U. A  e.  _V  ->  -.  ~P ~P U. A  e.  A )
2115, 20pm2.61i 156 1  |-  -.  ~P ~P U. A  e.  A
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1684   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862
This theorem is referenced by:  mnfnre  8875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866
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