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Theorem 2ralbiim 27942
Description: Split a biconditional and distribute 2 quantifiers, analogous to 2albiim 1623 and ralbiim 2845. (Contributed by Alexander van der Vekens, 2-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
2ralbiim  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph 
<->  ps )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ps )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  ph ) ) )

Proof of Theorem 2ralbiim
StepHypRef Expression
1 ralbiim 2845 . . 3  |-  ( A. y  e.  B  ( ph 
<->  ps )  <->  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  ps )  /\  A. y  e.  B  ( ps  ->  ph ) ) )
21ralbii 2731 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph 
<->  ps )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  ps )  /\  A. y  e.  B  ( ps  ->  ph ) ) )
3 r19.26 2840 . 2  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  ( ph  ->  ps )  /\  A. y  e.  B  ( ps  ->  ph )
)  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ps )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  ph ) ) )
42, 3bitri 242 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph 
<->  ps )  <->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ps )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ps  ->  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   A.wral 2707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-11 1762
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-an 362  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-ral 2712
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