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Theorem 2ralor 2709
Description: Distribute quantification over "or". (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
2ralor  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  \/  A. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    y, A    x, B    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2ralor
StepHypRef Expression
1 rexnal 2554 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  ph  <->  -. 
A. x  e.  A  ph )
2 rexnal 2554 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  -.  ps 
<->  -.  A. y  e.  B  ps )
31, 2anbi12i 678 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  -.  ph  /\  E. y  e.  B  -.  ps )  <->  ( -.  A. x  e.  A  ph  /\  -.  A. y  e.  B  ps ) )
4 ioran 476 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ph  \/  ps ) 
<->  ( -.  ph  /\  -.  ps ) )
54rexbii 2568 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  -.  ( ph  \/  ps )  <->  E. y  e.  B  ( -.  ph  /\  -.  ps ) )
6 rexnal 2554 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  -.  ( ph  \/  ps )  <->  -. 
A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )
)
75, 6bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ( -.  ph  /\  -.  ps ) 
<->  -.  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps ) )
87rexbii 2568 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( -.  ph  /\  -.  ps ) 
<->  E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )
)
9 reeanv 2707 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( -.  ph  /\  -.  ps ) 
<->  ( E. x  e.  A  -.  ph  /\  E. y  e.  B  -.  ps ) )
10 rexnal 2554 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  (
ph  \/  ps )  <->  -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )
)
118, 9, 103bitr3ri 267 . . 3  |-  ( -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )  <->  ( E. x  e.  A  -.  ph  /\  E. y  e.  B  -.  ps )
)
12 ioran 476 . . 3  |-  ( -.  ( A. x  e.  A  ph  \/  A. y  e.  B  ps ) 
<->  ( -.  A. x  e.  A  ph  /\  -.  A. y  e.  B  ps ) )
133, 11, 123bitr4i 268 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )  <->  -.  ( A. x  e.  A  ph  \/  A. y  e.  B  ps ) )
1413con4bii 288 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  \/  A. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wral 2543   E.wrex 2544
This theorem is referenced by:  2ralorOLD  26340  ispridl2  26663
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549
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