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Theorem 2ralor 2877
Description: Distribute quantification over "or". (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.)
Assertion
Ref Expression
2ralor  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  \/  A. y  e.  B  ps ) )
Distinct variable groups:    ph, y    ps, x    y, A    x, B    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2ralor
StepHypRef Expression
1 rexnal 2716 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  ph  <->  -. 
A. x  e.  A  ph )
2 rexnal 2716 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  -.  ps 
<->  -.  A. y  e.  B  ps )
31, 2anbi12i 679 . . 3  |-  ( ( E. x  e.  A  -.  ph  /\  E. y  e.  B  -.  ps )  <->  ( -.  A. x  e.  A  ph  /\  -.  A. y  e.  B  ps ) )
4 ioran 477 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( ph  \/  ps ) 
<->  ( -.  ph  /\  -.  ps ) )
54rexbii 2730 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  -.  ( ph  \/  ps )  <->  E. y  e.  B  ( -.  ph  /\  -.  ps ) )
6 rexnal 2716 . . . . . 6  |-  ( E. y  e.  B  -.  ( ph  \/  ps )  <->  -. 
A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )
)
75, 6bitr3i 243 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ( -.  ph  /\  -.  ps ) 
<->  -.  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps ) )
87rexbii 2730 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( -.  ph  /\  -.  ps ) 
<->  E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )
)
9 reeanv 2875 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( -.  ph  /\  -.  ps ) 
<->  ( E. x  e.  A  -.  ph  /\  E. y  e.  B  -.  ps ) )
10 rexnal 2716 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  -.  A. y  e.  B  (
ph  \/  ps )  <->  -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )
)
118, 9, 103bitr3ri 268 . . 3  |-  ( -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )  <->  ( E. x  e.  A  -.  ph  /\  E. y  e.  B  -.  ps )
)
12 ioran 477 . . 3  |-  ( -.  ( A. x  e.  A  ph  \/  A. y  e.  B  ps ) 
<->  ( -.  A. x  e.  A  ph  /\  -.  A. y  e.  B  ps ) )
133, 11, 123bitr4i 269 . 2  |-  ( -. 
A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )  <->  -.  ( A. x  e.  A  ph  \/  A. y  e.  B  ps ) )
1413con4bii 289 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  \/  ps )  <->  ( A. x  e.  A  ph  \/  A. y  e.  B  ps ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359   A.wral 2705   E.wrex 2706
This theorem is referenced by:  ispridl2  26648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ral 2710  df-rex 2711
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