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Theorem 2reu1 27964
Description: Double restricted existential uniqueness. This theorem shows a condition under which a "naive" definition matches the correct one, analogous to 2eu1 2223. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem 2reu1
StepHypRef Expression
1 2reu5a 27955 . . . . . . 7  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  /\  E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B ph ) ) )
21simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph ) )
3 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  E. y  e.  B  ph )
4 rsp 2603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( x  e.  A  ->  E* y  e.  B ph ) )
54adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph )  -> 
( x  e.  A  ->  E* y  e.  B ph ) )
65impcom 419 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  E* y  e.  B ph )
73, 6jca 518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph ) )  ->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B ph ) )
87ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  A  ->  (
( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B ph ) ) )
98rmoimia 2965 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  ->  E* x  e.  A ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph )
)
10 nfra1 2593 . . . . . . . . . 10  |-  F/ x A. x  e.  A  E* y  e.  B ph
1110rmoanim 27957 . . . . . . . . 9  |-  ( E* x  e.  A ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph ) )
129, 11sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph ) )
1312ancrd 537 . . . . . . 7  |-  ( E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph ) ) )
14 2rmoswap 27962 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  ->  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
)
1514com12 27 . . . . . . . 8  |-  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) )
1615imdistani 671 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) )
1713, 16syl6 29 . . . . . 6  |-  ( E* x  e.  A ( E. y  e.  B  ph 
/\  E* y  e.  B ph )  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
) )
182, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
) )
19 2reu2rex 27961 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
20 rexcom 2701 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
2119, 20sylib 188 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
2219, 21jca 518 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
2318, 22jctild 527 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
) ) )
24 reu5 2753 . . . . . 6  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph ) )
25 reu5 2753 . . . . . 6  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) )
2624, 25anbi12i 678 . . . . 5  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) ) )
27 an4 797 . . . . 5  |-  ( ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph )  /\  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
)  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph )
) )
2826, 27bitri 240 . . . 4  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  /\  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  /\  E* y  e.  B E. x  e.  A  ph ) ) )
2923, 28syl6ibr 218 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
3029com12 27 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
31 2rexreu 27963 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  ->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph )
3230, 31impbid1 194 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   E*wrmo 2546
This theorem is referenced by:  2reu2  27965  2reu3  27966
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551
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