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Theorem 2reu3 27966
Description: Double restricted existential uniqueness, analogous to 2eu3 2225. (Contributed by Alexander van der Vekens, 29-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph )  -> 
( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu3
StepHypRef Expression
1 orcom 376 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph )  <->  ( E* y  e.  B ph  \/  E* x  e.  A ph ) )
21ralbii 2567 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  ( E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph )  <->  A. y  e.  B  ( E* y  e.  B ph  \/  E* x  e.  A ph ) )
3 nfrmo1 2711 . . . . . . 7  |-  F/ y E* y  e.  B ph
43r19.32 27945 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  ( E* y  e.  B ph  \/  E* x  e.  A ph )  <->  ( E* y  e.  B ph  \/  A. y  e.  B  E* x  e.  A ph ) )
52, 4bitri 240 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  ( E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph )  <->  ( E* y  e.  B ph  \/  A. y  e.  B  E* x  e.  A ph ) )
6 orcom 376 . . . . 5  |-  ( ( E* y  e.  B ph  \/  A. y  e.  B  E* x  e.  A ph )  <->  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph ) )
75, 6bitri 240 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  ( E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph )  <->  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph ) )
87ralbii 2567 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph )  <->  A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph ) )
9 nfcv 2419 . . . . 5  |-  F/_ x B
10 nfrmo1 2711 . . . . 5  |-  F/ x E* x  e.  A ph
119, 10nfral 2596 . . . 4  |-  F/ x A. y  e.  B  E* x  e.  A ph
1211r19.32 27945 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph )  <->  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  \/  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph ) )
138, 12bitri 240 . 2  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph )  <->  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  \/  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph ) )
14 2reu1 27964 . . . . . . 7  |-  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  ->  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph  <->  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  /\  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph ) ) )
1514biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  ->  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph  ->  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
/\  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph ) ) )
16 ancom 437 . . . . . 6  |-  ( ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
/\  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
1715, 16syl6ib 217 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  ->  ( E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
1817adantld 453 . . . 4  |-  ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  ->  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
19 2reu1 27964 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
2019biimpd 198 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
2120adantrd 454 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
2218, 21jaoi 368 . . 3  |-  ( ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  \/  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  -> 
( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
) )
23 2rexreu 27963 . . . 4  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  ->  E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph )
24 2rexreu 27963 . . . . 5  |-  ( ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
/\  E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
2524ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  ->  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
2623, 25jca 518 . . 3  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  -> 
( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
)
2722, 26impbid1 194 . 2  |-  ( ( A. y  e.  B  E* x  e.  A ph  \/  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  -> 
( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
2813, 27sylbi 187 1  |-  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( E* x  e.  A ph  \/  E* y  e.  B ph )  -> 
( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E! x  e.  A  ph )  <->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   E*wrmo 2546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551
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