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Theorem 2reu4 27944
Description: Definition of double restricted existential uniqueness ("exactly one  x and exactly one  y"), analogous to 2eu4 2364. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu4  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    z, w, ph    x, w, y, A, z   
w, B, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu4
StepHypRef Expression
1 reurex 2922 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )
2 rexn0 3730 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A  =/=  (/) )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  A  =/=  (/) )
4 reurex 2922 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  ->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
5 rexn0 3730 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph  ->  B  =/=  (/) )
64, 5syl 16 . . 3  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  ->  B  =/=  (/) )
73, 6anim12i 550 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  -> 
( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
8 ne0i 3634 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
9 ne0i 3634 . . . . . 6  |-  ( y  e.  B  ->  B  =/=  (/) )
108, 9anim12i 550 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
1110a1d 23 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ph  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) ) )
1211rexlimivv 2835 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
1312adantr 452 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) ) )
14 2reu4a 27943 . 2  |-  ( ( A  =/=  (/)  /\  B  =/=  (/) )  ->  (
( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
157, 13, 14pm5.21nii 343 1  |-  ( ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   E.wrex 2706   E!wreu 2707   (/)c0 3628
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-v 2958  df-dif 3323  df-nul 3629
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