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Theorem 2reu5 2973
Description: Double restricted existential uniqueness in terms of restricted existential quantification and restricted universal quantification, analogous to 2eu5 2227 and reu3 2955. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu5  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, w, z, A, x    w, B   
x, z, B, y    ph, w, z    x, A   
y, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu5
StepHypRef Expression
1 r19.29r 2684 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2 r19.29r 2684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. y  e.  B  ph 
/\  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  E. y  e.  B  ( ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
32reximi 2650 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
4 pm3.35 570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  -> 
( x  =  z  /\  y  =  w ) )
54reximi 2650 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  E. y  e.  B  ( x  =  z  /\  y  =  w
) )
65reximi 2650 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )
7 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
8 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  B  <->  w  e.  B ) )
97, 8bi2anan9 843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  <->  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) ) )
109biimpac 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( z  e.  A  /\  w  e.  B
) )
1110ancomd 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( w  e.  B  /\  z  e.  A
) )
1211ex 423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  (
w  e.  B  /\  z  e.  A )
) )
1312rexlimivv 2672 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( w  e.  B  /\  z  e.  A
) )
146, 13syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )  ->  (
w  e.  B  /\  z  e.  A )
)
151, 3, 143syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  ( w  e.  B  /\  z  e.  A ) )
1615ex 423 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( w  e.  B  /\  z  e.  A
) ) )
1716pm4.71rd 616 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( (
w  e.  B  /\  z  e.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
18 anass 630 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  ( w  e.  B  /\  (
z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
1917, 18syl6bb 252 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( w  e.  B  /\  (
z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) ) )
20192exbidv 1614 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) ) )
2120pm5.32i 618 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <-> 
( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w ( w  e.  B  /\  (
z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) ) )
22 2reu5lem3 2972 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
23 df-rex 2549 . . . 4  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z
( z  e.  A  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
24 r19.42v 2694 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
25 df-rex 2549 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2624, 25bitr3i 242 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2726exbii 1569 . . . 4  |-  ( E. z ( z  e.  A  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  E. z E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2823, 27bitri 240 . . 3  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2928anbi2i 675 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <-> 
( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w ( w  e.  B  /\  (
z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) ) )
3021, 22, 293bitr4i 268 1  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   E*wrmo 2546
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551
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