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Theorem 2reu5 3144
Description: Double restricted existential uniqueness in terms of restricted existential quantification and restricted universal quantification, analogous to 2eu5 2367 and reu3 3126. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu5  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Distinct variable groups:    y, w, z, A, x    w, B   
x, z, B, y    ph, w, z    x, A   
y, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem 2reu5
StepHypRef Expression
1 r19.29r 2849 . . . . . . . 8  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
2 r19.29r 2849 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E. y  e.  B  ph 
/\  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  E. y  e.  B  ( ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
32reximi 2815 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  ( E. y  e.  B  ph 
/\  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
4 pm3.35 572 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  -> 
( x  =  z  /\  y  =  w ) )
54reximi 2815 . . . . . . . . 9  |-  ( E. y  e.  B  (
ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  E. y  e.  B  ( x  =  z  /\  y  =  w
) )
65reximi 2815 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( ph  /\  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w )
) )  ->  E. x  e.  A  E. y  e.  B  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )
7 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  z  ->  (
x  e.  A  <->  z  e.  A ) )
8 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  w  ->  (
y  e.  B  <->  w  e.  B ) )
97, 8bi2anan9 845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  <->  ( z  e.  A  /\  w  e.  B ) ) )
109biimpac 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( z  e.  A  /\  w  e.  B
) )
1110ancomd 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B
)  /\  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( w  e.  B  /\  z  e.  A
) )
1211ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B )  ->  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  (
w  e.  B  /\  z  e.  A )
) )
1312rexlimivv 2837 . . . . . . . 8  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  (
x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ( w  e.  B  /\  z  e.  A
) )
141, 3, 6, 134syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  ->  ( w  e.  B  /\  z  e.  A ) )
1514ex 425 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  -> 
( w  e.  B  /\  z  e.  A
) ) )
1615pm4.71rd 618 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( (
w  e.  B  /\  z  e.  A )  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
17 anass 632 . . . . 5  |-  ( ( ( w  e.  B  /\  z  e.  A
)  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  ( w  e.  B  /\  (
z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
1816, 17syl6bb 254 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  ( w  e.  B  /\  (
z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) ) )
19182exbidv 1639 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  ( E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) ) )
2019pm5.32i 620 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <-> 
( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w ( w  e.  B  /\  (
z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) ) )
21 2reu5lem3 3143 . 2  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
22 df-rex 2713 . . . 4  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z
( z  e.  A  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
23 r19.42v 2864 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <-> 
( z  e.  A  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
24 df-rex 2713 . . . . . 6  |-  ( E. w  e.  B  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2523, 24bitr3i 244 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  A  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2625exbii 1593 . . . 4  |-  ( E. z ( z  e.  A  /\  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <->  E. z E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2722, 26bitri 242 . . 3  |-  ( E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) )  <->  E. z E. w ( w  e.  B  /\  ( z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) )
2827anbi2i 677 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) )  <-> 
( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z E. w ( w  e.  B  /\  (
z  e.  A  /\  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) ) ) )
2920, 21, 283bitr4i 270 1  |-  ( ( E! x  e.  A  E! y  e.  B  ph 
/\  A. x  e.  A  E* y  e.  B ph )  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ph  ->  ( x  =  z  /\  y  =  w ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360   E.wex 1551    e. wcel 1726   A.wral 2707   E.wrex 2708   E!wreu 2709   E*wrmo 2710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715
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