MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2reu5lem2 Unicode version

Theorem 2reu5lem2 2971
Description: Lemma for 2reu5 2973. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu5lem2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, B    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2reu5lem2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2551 . . 3  |-  ( E* y  e.  B ph  <->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2567 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  <->  A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
3 df-ral 2548 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 moanimv 2201 . . . . . 6  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
54bicomi 193 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)  <->  E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
6 3anass 938 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
76bicomi 193 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
87mobii 2179 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  E* y
( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
95, 8bitri 240 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)  <->  E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
109albii 1553 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
113, 10bitri 240 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
122, 11bitri 240 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527    e. wcel 1684   E*wmo 2144   A.wral 2543   E*wrmo 2546
This theorem is referenced by:  2reu5lem3  2972
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-ral 2548  df-rmo 2551
  Copyright terms: Public domain W3C validator