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Theorem 2reu5lem2 3140
Description: Lemma for 2reu5 3142. (Contributed by Alexander van der Vekens, 17-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reu5lem2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
Distinct variable groups:    y, A    x, B    x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2reu5lem2
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2713 . . 3  |-  ( E* y  e.  B ph  <->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2729 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  <->  A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
3 df-ral 2710 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 moanimv 2339 . . . . . 6  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
54bicomi 194 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)  <->  E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
6 3anass 940 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
76bicomi 194 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
87mobii 2317 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  E* y
( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
95, 8bitri 241 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)  <->  E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
109albii 1575 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph )
)
113, 10bitri 241 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
122, 11bitri 241 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  y  e.  B  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   A.wal 1549    e. wcel 1725   E*wmo 2282   A.wral 2705   E*wrmo 2708
This theorem is referenced by:  2reu5lem3  3141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-ral 2710  df-rmo 2713
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