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Theorem 2reurex 27830
Description: Double restricted quantification with existential uniqueness, analogous to 2euex 2330. (Contributed by Alexander van der Vekens, 24-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reurex  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
Distinct variable groups:    y, A    x, y    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( x)    B( y)

Proof of Theorem 2reurex
StepHypRef Expression
1 reu5 2885 . 2  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  /\  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph ) )
2 rexcom 2833 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
3 nfcv 2544 . . . . . 6  |-  F/_ y A
4 nfre1 2726 . . . . . 6  |-  F/ y E. y  e.  B  ph
53, 4nfrmo 2847 . . . . 5  |-  F/ y E* x  e.  A E. y  e.  B  ph
6 rspe 2731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  B  /\  ph )  ->  E. y  e.  B  ph )
76ex 424 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  B  ->  ( ph  ->  E. y  e.  B  ph ) )
87ralrimivw 2754 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  A. x  e.  A  ( ph  ->  E. y  e.  B  ph ) )
9 rmoim 3097 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  ( ph  ->  E. y  e.  B  ph )  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  ->  E* x  e.  A ph ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph 
->  E* x  e.  A ph ) )
1110impcom 420 . . . . . . 7  |-  ( ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph 
/\  y  e.  B
)  ->  E* x  e.  A ph )
12 rmo5 2888 . . . . . . 7  |-  ( E* x  e.  A ph  <->  ( E. x  e.  A  ph 
->  E! x  e.  A  ph ) )
1311, 12sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph 
/\  y  e.  B
)  ->  ( E. x  e.  A  ph  ->  E! x  e.  A  ph ) )
1413ex 424 . . . . 5  |-  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  ->  ( y  e.  B  -> 
( E. x  e.  A  ph  ->  E! x  e.  A  ph )
) )
155, 14reximdai 2778 . . . 4  |-  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  ->  ( E. y  e.  B  E. x  e.  A  ph 
->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph ) )
162, 15syl5bi 209 . . 3  |-  ( E* x  e.  A E. y  e.  B  ph  ->  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph ) )
1716impcom 420 . 2  |-  ( ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
/\  E* x  e.  A E. y  e.  B  ph )  ->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
181, 17sylbi 188 1  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E. y  e.  B  E! x  e.  A  ph )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2670   E.wrex 2671   E!wreu 2672   E*wrmo 2673
This theorem is referenced by:  2rexreu  27834
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-an 361  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678
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