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Theorem 2reuswap 2967
Description: A condition allowing swap of uniqueness and existential quantifiers. (Contributed by Thierry Arnoux, 7-Apr-2017.) (Revised by NM, 16-Jun-2017.)
Assertion
Ref Expression
2reuswap  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    B( y)

Proof of Theorem 2reuswap
StepHypRef Expression
1 df-rmo 2551 . . 3  |-  ( E* y  e.  B ph  <->  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
21ralbii 2567 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  <->  A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )
)
3 df-ral 2548 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
4 moanimv 2201 . . . . 5  |-  ( E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  ->  E* y
( y  e.  B  /\  ph ) ) )
54albii 1553 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  <->  A. x
( x  e.  A  ->  E* y ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
63, 5bitr4i 243 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  <->  A. x E* y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
7 2euswap 2219 . . . 4  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) )  ->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) ) )
8 df-reu 2550 . . . . 5  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x
( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
9 r19.42v 2694 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) )
10 df-rex 2549 . . . . . . . 8  |-  ( E. y  e.  B  ( x  e.  A  /\  ph )  <->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
119, 10bitr3i 242 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( y  e.  B  /\  (
x  e.  A  /\  ph ) ) )
12 an12 772 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1312exbii 1569 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( y  e.  B  /\  ( x  e.  A  /\  ph ) )  <->  E. y
( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
1411, 13bitri 240 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph ) 
<->  E. y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
1514eubii 2152 . . . . 5  |-  ( E! x ( x  e.  A  /\  E. y  e.  B  ph )  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
168, 15bitri 240 . . . 4  |-  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E! x E. y ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
17 df-reu 2550 . . . . 5  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y
( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
18 r19.42v 2694 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) )
19 df-rex 2549 . . . . . . 7  |-  ( E. x  e.  A  ( y  e.  B  /\  ph )  <->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2018, 19bitr3i 242 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph ) 
<->  E. x ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) ) )
2120eubii 2152 . . . . 5  |-  ( E! y ( y  e.  B  /\  E. x  e.  A  ph )  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
2217, 21bitri 240 . . . 4  |-  ( E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph  <->  E! y E. x ( x  e.  A  /\  ( y  e.  B  /\  ph ) ) )
237, 16, 223imtr4g 261 . . 3  |-  ( A. x E* y ( x  e.  A  /\  (
y  e.  B  /\  ph ) )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph 
->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph ) )
246, 23sylbi 187 . 2  |-  ( A. x  e.  A  E* y ( y  e.  B  /\  ph )  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
252, 24sylbi 187 1  |-  ( A. x  e.  A  E* y  e.  B ph  ->  ( E! x  e.  A  E. y  e.  B  ph  ->  E! y  e.  B  E. x  e.  A  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358   A.wal 1527   E.wex 1528    e. wcel 1684   E!weu 2143   E*wmo 2144   A.wral 2543   E.wrex 2544   E!wreu 2545   E*wrmo 2546
This theorem is referenced by:  reuxfr2d  4557  reuxfr3d  23138
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551
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