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Theorem 2rexrsb 28052
Description: An equivalent expression for double restricted existence, analogous to 2exsb 2084. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
2rexrsb  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( (
x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, A, x, z    ph, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)

Proof of Theorem 2rexrsb
StepHypRef Expression
1 rexrsb 28050 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. w  e.  B  A. y  e.  B  (
y  =  w  ->  ph ) )
21rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. x  e.  A  E. w  e.  B  A. y  e.  B  ( y  =  w  ->  ph )
)
3 rexcom 2714 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. w  e.  B  A. y  e.  B  (
y  =  w  ->  ph )  <->  E. w  e.  B  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( y  =  w  ->  ph ) )
42, 3bitri 240 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. w  e.  B  E. x  e.  A  A. y  e.  B  ( y  =  w  ->  ph )
)
5 rexrsb 28050 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  (
y  =  w  ->  ph )  <->  E. z  e.  A  A. x  e.  A  ( x  =  z  ->  A. y  e.  B  ( y  =  w  ->  ph ) ) )
6 impexp 433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )  <->  ( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ph )
) )
76ralbii 2580 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )  <->  A. y  e.  B  ( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ph )
) )
8 r19.21v 2643 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  B  (
x  =  z  -> 
( y  =  w  ->  ph ) )  <->  ( x  =  z  ->  A. y  e.  B  ( y  =  w  ->  ph )
) )
97, 8bitr2i 241 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  z  ->  A. y  e.  B  ( y  =  w  ->  ph ) )  <->  A. y  e.  B  ( (
x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
109ralbii 2580 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  A  (
x  =  z  ->  A. y  e.  B  ( y  =  w  ->  ph ) )  <->  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( (
x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
1110rexbii 2581 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  A  A. x  e.  A  (
x  =  z  ->  A. y  e.  B  ( y  =  w  ->  ph ) )  <->  E. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( (
x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
125, 11bitri 240 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  A. y  e.  B  (
y  =  w  ->  ph )  <->  E. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
1312rexbii 2581 . . 3  |-  ( E. w  e.  B  E. x  e.  A  A. y  e.  B  (
y  =  w  ->  ph )  <->  E. w  e.  B  E. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
14 rexcom 2714 . . 3  |-  ( E. w  e.  B  E. z  e.  A  A. x  e.  A  A. y  e.  B  (
( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( (
x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
1513, 14bitri 240 . 2  |-  ( E. w  e.  B  E. x  e.  A  A. y  e.  B  (
y  =  w  ->  ph )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
164, 15bitri 240 1  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x  e.  A  A. y  e.  B  ( (
x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358   A.wral 2556   E.wrex 2557
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ral 2561  df-rex 2562
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