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Theorem 2rexsb 27915
Description: An equivalent expression for double restricted existence, analogous to rexsb 27913. (Contributed by Alexander van der Vekens, 1-Jul-2017.)
Assertion
Ref Expression
2rexsb  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
Distinct variable groups:    x, w, y, z, B    w, A, x, z    ph, z, w
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    A( y)

Proof of Theorem 2rexsb
StepHypRef Expression
1 rexsb 27913 . . . 4  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. w  e.  B  A. y ( y  =  w  ->  ph ) )
21rexbii 2722 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. x  e.  A  E. w  e.  B  A. y
( y  =  w  ->  ph ) )
3 rexcom 2861 . . 3  |-  ( E. x  e.  A  E. w  e.  B  A. y ( y  =  w  ->  ph )  <->  E. w  e.  B  E. x  e.  A  A. y
( y  =  w  ->  ph ) )
42, 3bitri 241 . 2  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. w  e.  B  E. x  e.  A  A. y
( y  =  w  ->  ph ) )
5 rexsb 27913 . . . . 5  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  =  w  ->  ph )  <->  E. z  e.  A  A. x
( x  =  z  ->  A. y ( y  =  w  ->  ph )
) )
6 impexp 434 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )  <->  ( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ph )
) )
76albii 1575 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )  <->  A. y ( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ph )
) )
8 19.21v 1913 . . . . . . . 8  |-  ( A. y ( x  =  z  ->  ( y  =  w  ->  ph )
)  <->  ( x  =  z  ->  A. y
( y  =  w  ->  ph ) ) )
97, 8bitr2i 242 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  z  ->  A. y ( y  =  w  ->  ph ) )  <->  A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
109albii 1575 . . . . . 6  |-  ( A. x ( x  =  z  ->  A. y
( y  =  w  ->  ph ) )  <->  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
1110rexbii 2722 . . . . 5  |-  ( E. z  e.  A  A. x ( x  =  z  ->  A. y
( y  =  w  ->  ph ) )  <->  E. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
125, 11bitri 241 . . . 4  |-  ( E. x  e.  A  A. y ( y  =  w  ->  ph )  <->  E. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
1312rexbii 2722 . . 3  |-  ( E. w  e.  B  E. x  e.  A  A. y ( y  =  w  ->  ph )  <->  E. w  e.  B  E. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
14 rexcom 2861 . . 3  |-  ( E. w  e.  B  E. z  e.  A  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
1513, 14bitri 241 . 2  |-  ( E. w  e.  B  E. x  e.  A  A. y ( y  =  w  ->  ph )  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
164, 15bitri 241 1  |-  ( E. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  A  E. w  e.  B  A. x A. y ( ( x  =  z  /\  y  =  w )  ->  ph )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359   A.wal 1549   E.wrex 2698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ral 2702  df-rex 2703
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