MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2rexuz Unicode version

Theorem 2rexuz 10454
Description: Double existential quantification in a set of upper integers. (Contributed by NM, 3-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
2rexuz  |-  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) )
Distinct variable group:    m, n
Allowed substitution hints:    ph( m, n)

Proof of Theorem 2rexuz
StepHypRef Expression
1 rexuz2 10453 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph  <->  ( m  e.  ZZ  /\  E. n  e.  ZZ  ( m  <_  n  /\  ph ) ) )
21exbii 1589 . 2  |-  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<->  E. m ( m  e.  ZZ  /\  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) ) )
3 df-rex 2648 . 2  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph )  <->  E. m ( m  e.  ZZ  /\  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) ) )
42, 3bitr4i 244 1  |-  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1547    e. wcel 1717   E.wrex 2643   class class class wbr 4146   ` cfv 5387    <_ cle 9047   ZZcz 10207   ZZ>=cuz 10413
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-ral 2647  df-rex 2648  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-fv 5395  df-ov 6016  df-neg 9219  df-z 10208  df-uz 10414
  Copyright terms: Public domain W3C validator