MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2rexuz Unicode version

Theorem 2rexuz 10271
Description: Double existential quantification in a set of upper integers. (Contributed by NM, 3-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
2rexuz  |-  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) )
Distinct variable group:    m, n
Allowed substitution hints:    ph( m, n)

Proof of Theorem 2rexuz
StepHypRef Expression
1 rexuz2 10270 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph  <->  ( m  e.  ZZ  /\  E. n  e.  ZZ  ( m  <_  n  /\  ph ) ) )
21exbii 1569 . 2  |-  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<->  E. m ( m  e.  ZZ  /\  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) ) )
3 df-rex 2549 . 2  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph )  <->  E. m ( m  e.  ZZ  /\  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) ) )
42, 3bitr4i 243 1  |-  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 176    /\ wa 358   E.wex 1528    e. wcel 1684   E.wrex 2544   class class class wbr 4023   ` cfv 5255    <_ cle 8868   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230
This theorem is referenced by:  prodex  25304
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-fv 5263  df-ov 5861  df-neg 9040  df-z 10025  df-uz 10231
  Copyright terms: Public domain W3C validator