MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2rexuz Structured version   Unicode version

Theorem 2rexuz 10522
Description: Double existential quantification in a set of upper integers. (Contributed by NM, 3-Nov-2005.)
Assertion
Ref Expression
2rexuz  |-  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) )
Distinct variable group:    m, n
Allowed substitution hints:    ph( m, n)

Proof of Theorem 2rexuz
StepHypRef Expression
1 rexuz2 10521 . . 3  |-  ( E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph  <->  ( m  e.  ZZ  /\  E. n  e.  ZZ  ( m  <_  n  /\  ph ) ) )
21exbii 1592 . 2  |-  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<->  E. m ( m  e.  ZZ  /\  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) ) )
3 df-rex 2704 . 2  |-  ( E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph )  <->  E. m ( m  e.  ZZ  /\  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) ) )
42, 3bitr4i 244 1  |-  ( E. m E. n  e.  ( ZZ>= `  m ) ph 
<->  E. m  e.  ZZ  E. n  e.  ZZ  (
m  <_  n  /\  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359   E.wex 1550    e. wcel 1725   E.wrex 2699   class class class wbr 4205   ` cfv 5447    <_ cle 9114   ZZcz 10275   ZZ>=cuz 10481
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-cnex 9039  ax-resscn 9040
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2703  df-rex 2704  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-fv 5455  df-ov 6077  df-neg 9287  df-z 10276  df-uz 10482
  Copyright terms: Public domain W3C validator