MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sq Unicode version

Theorem 2sq 21029
Description: All primes of the form  4 k  +  1 are sums of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
2sq  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem 2sq
Dummy variables  a 
b  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2389 . . 3  |-  ran  (
w  e.  ZZ [
_i ]  |->  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )
2 oveq1 6029 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
a  gcd  b )  =  ( x  gcd  b ) )
32eqeq1d 2397 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  (
( a  gcd  b
)  =  1  <->  (
x  gcd  b )  =  1 ) )
4 oveq1 6029 . . . . . . . 8  |-  ( a  =  x  ->  (
a ^ 2 )  =  ( x ^
2 ) )
54oveq1d 6037 . . . . . . 7  |-  ( a  =  x  ->  (
( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )
65eqeq2d 2400 . . . . . 6  |-  ( a  =  x  ->  (
z  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  <->  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) ) ) )
73, 6anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( a  =  x  ->  (
( ( a  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) ) ) ) )
8 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
x  gcd  b )  =  ( x  gcd  y ) )
98eqeq1d 2397 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  (
( x  gcd  b
)  =  1  <->  (
x  gcd  y )  =  1 ) )
10 oveq1 6029 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  y  ->  (
b ^ 2 )  =  ( y ^
2 ) )
1110oveq2d 6038 . . . . . . 7  |-  ( b  =  y  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) )  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1211eqeq2d 2400 . . . . . 6  |-  ( b  =  y  ->  (
z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) )  <->  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
139, 12anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( b  =  y  ->  (
( ( x  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( b ^ 2 ) ) )  <->  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) ) )
147, 13cbvrex2v 2886 . . . 4  |-  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  (
( a  gcd  b
)  =  1  /\  z  =  ( ( a ^ 2 )  +  ( b ^
2 ) ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  (
( x  gcd  y
)  =  1  /\  z  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) ) )
1514abbii 2501 . . 3  |-  { z  |  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( ( a  gcd  b )  =  1  /\  z  =  ( ( a ^
2 )  +  ( b ^ 2 ) ) ) }  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
161, 152sqlem11 21028 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  P  e.  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) ) )
1712sqlem2 21017 . 2  |-  ( P  e.  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w ) ^ 2 ) )  <->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
1816, 17sylib 189 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2375   E.wrex 2652    e. cmpt 4209   ran crn 4821   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   1c1 8926    + caddc 8928   2c2 9983   4c4 9985   ZZcz 10216    mod cmo 11179   ^cexp 11311   abscabs 11968    gcd cgcd 12935   Primecprime 13008   ZZ [ _i ]cgz 13226
This theorem is referenced by:  2sqb  21031
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-ofr 6247  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-tpos 6417  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-ec 6845  df-qs 6849  df-map 6958  df-pm 6959  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-fl 11131  df-mod 11180  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-dvds 12782  df-gcd 12936  df-prm 13009  df-phi 13084  df-pc 13140  df-gz 13227  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-prds 13600  df-pws 13602  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-imas 13663  df-divs 13664  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-mhm 14667  df-submnd 14668  df-grp 14741  df-minusg 14742  df-sbg 14743  df-mulg 14744  df-subg 14870  df-nsg 14871  df-eqg 14872  df-ghm 14933  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-abl 15344  df-mgp 15578  df-rng 15592  df-cring 15593  df-ur 15594  df-oppr 15657  df-dvdsr 15675  df-unit 15676  df-invr 15706  df-rnghom 15748  df-drng 15766  df-field 15767  df-subrg 15795  df-lmod 15881  df-lss 15938  df-lsp 15977  df-sra 16173  df-rgmod 16174  df-lidl 16175  df-rsp 16176  df-2idl 16232  df-nzr 16258  df-rlreg 16272  df-domn 16273  df-idom 16274  df-assa 16301  df-asp 16302  df-ascl 16303  df-psr 16346  df-mvr 16347  df-mpl 16348  df-evls 16349  df-evl 16350  df-opsr 16354  df-psr1 16505  df-vr1 16506  df-ply1 16507  df-evl1 16509  df-coe1 16510  df-cnfld 16629  df-zrh 16707  df-zn 16710  df-mdeg 19847  df-deg1 19848  df-mon1 19922  df-uc1p 19923  df-q1p 19924  df-r1p 19925  df-lgs 20948
  Copyright terms: Public domain W3C validator