MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqb Unicode version

Theorem 2sqb 20723
Description: The converse to 2sq 20721. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
2sqb  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem 2sqb
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2523 . . . 4  |-  ( P  =/=  2  <->  -.  P  =  2 )
2 prmz 12853 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
32ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
4 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
5 bezout 12812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
7 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
8 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)
9 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
10 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
11 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
12 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
137, 8, 9, 10, 11, 122sqblem 20722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1413expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1514rexlimdvva 2750 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
166, 15mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1716ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1817rexlimdvva 2750 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1918impancom 427 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =/=  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
201, 19syl5bir 209 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( -.  P  =  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
2120orrd 367 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
22 1z 10142 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
23 oveq1 5949 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
24 sq1 11288 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2523, 24syl6eq 2406 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  1 )
2625oveq1d 5957 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
2726eqeq2d 2369 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
28 oveq1 5949 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2928, 24syl6eq 2406 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  1 )
3029oveq2d 5958 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
31 1p1e2 9927 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3230, 31syl6eq 2406 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  2 )
3332eqeq2d 2369 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  ( P  =  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  = 
2 ) )
3427, 33rspc2ev 2968 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3522, 22, 34mp3an12 1267 . . . 4  |-  ( P  =  2  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3635adantl 452 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
37 2sq 20721 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3836, 37jaodan 760 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4
)  =  1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3921, 38impbida 805 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   E.wrex 2620  (class class class)co 5942   1c1 8825    + caddc 8827    x. cmul 8829   2c2 9882   4c4 9884   ZZcz 10113    mod cmo 11062   ^cexp 11194    gcd cgcd 12776   Primecprime 12849
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-inf2 7429  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902  ax-addf 8903  ax-mulf 8904
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-iin 3987  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-se 4432  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-isom 5343  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-of 6162  df-ofr 6163  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-tpos 6318  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-ec 6746  df-qs 6750  df-map 6859  df-pm 6860  df-ixp 6903  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-oi 7312  df-card 7659  df-cda 7881  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-4 9893  df-5 9894  df-6 9895  df-7 9896  df-8 9897  df-9 9898  df-10 9899  df-n0 10055  df-z 10114  df-dec 10214  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-fz 10872  df-fzo 10960  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-hash 11428  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-dvds 12623  df-gcd 12777  df-prm 12850  df-phi 12925  df-pc 12981  df-gz 13068  df-struct 13241  df-ndx 13242  df-slot 13243  df-base 13244  df-sets 13245  df-ress 13246  df-plusg 13312  df-mulr 13313  df-starv 13314  df-sca 13315  df-vsca 13316  df-tset 13318  df-ple 13319  df-ds 13321  df-unif 13322  df-hom 13323  df-cco 13324  df-prds 13441  df-pws 13443  df-0g 13497  df-gsum 13498  df-imas 13504  df-divs 13505  df-mre 13581  df-mrc 13582  df-acs 13584  df-mnd 14460  df-mhm 14508  df-submnd 14509  df-grp 14582  df-minusg 14583  df-sbg 14584  df-mulg 14585  df-subg 14711  df-nsg 14712  df-eqg 14713  df-ghm 14774  df-cntz 14886  df-cmn 15184  df-abl 15185  df-mgp 15419  df-rng 15433  df-cring 15434  df-ur 15435  df-oppr 15498  df-dvdsr 15516  df-unit 15517  df-invr 15547  df-rnghom 15589  df-drng 15607  df-field 15608  df-subrg 15636  df-lmod 15722  df-lss 15783  df-lsp 15822  df-sra 16018  df-rgmod 16019  df-lidl 16020  df-rsp 16021  df-2idl 16077  df-nzr 16103  df-rlreg 16117  df-domn 16118  df-idom 16119  df-assa 16146  df-asp 16147  df-ascl 16148  df-psr 16191  df-mvr 16192  df-mpl 16193  df-evls 16194  df-evl 16195  df-opsr 16199  df-psr1 16350  df-vr1 16351  df-ply1 16352  df-evl1 16354  df-coe1 16355  df-cnfld 16477  df-zrh 16555  df-zn 16558  df-mdeg 19539  df-deg1 19540  df-mon1 19614  df-uc1p 19615  df-q1p 19616  df-r1p 19617  df-lgs 20640
  Copyright terms: Public domain W3C validator