MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqb Unicode version

Theorem 2sqb 21123
Description: The converse to 2sq 21121. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
2sqb  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem 2sqb
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2577 . . . 4  |-  ( P  =/=  2  <->  -.  P  =  2 )
2 prmz 13046 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
32ad3antrrr 711 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
4 simplrr 738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
5 bezout 13005 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
63, 4, 5syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
7 simplll 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
8 simpllr 736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)
9 simplr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
10 simprll 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
11 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
12 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
137, 8, 9, 10, 11, 122sqblem 21122 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1413expr 599 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1514rexlimdvva 2805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
166, 15mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1716ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1817rexlimdvva 2805 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1918impancom 428 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =/=  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
201, 19syl5bir 210 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( -.  P  =  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
2120orrd 368 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
22 1z 10275 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
23 oveq1 6055 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
24 sq1 11439 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2523, 24syl6eq 2460 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  1 )
2625oveq1d 6063 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
2726eqeq2d 2423 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
28 oveq1 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2928, 24syl6eq 2460 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  1 )
3029oveq2d 6064 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
31 1p1e2 10058 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3230, 31syl6eq 2460 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  2 )
3332eqeq2d 2423 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  ( P  =  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  = 
2 ) )
3427, 33rspc2ev 3028 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3522, 22, 34mp3an12 1269 . . . 4  |-  ( P  =  2  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3635adantl 453 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
37 2sq 21121 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3836, 37jaodan 761 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4
)  =  1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3921, 38impbida 806 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   E.wrex 2675  (class class class)co 6048   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959   2c2 10013   4c4 10015   ZZcz 10246    mod cmo 11213   ^cexp 11345    gcd cgcd 12969   Primecprime 13042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-ofr 6273  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-tpos 6446  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-ec 6874  df-qs 6878  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-hash 11582  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-dvds 12816  df-gcd 12970  df-prm 13043  df-phi 13118  df-pc 13174  df-gz 13261  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-prds 13634  df-pws 13636  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-imas 13697  df-divs 13698  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-mhm 14701  df-submnd 14702  df-grp 14775  df-minusg 14776  df-sbg 14777  df-mulg 14778  df-subg 14904  df-nsg 14905  df-eqg 14906  df-ghm 14967  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-abl 15378  df-mgp 15612  df-rng 15626  df-cring 15627  df-ur 15628  df-oppr 15691  df-dvdsr 15709  df-unit 15710  df-invr 15740  df-rnghom 15782  df-drng 15800  df-field 15801  df-subrg 15829  df-lmod 15915  df-lss 15972  df-lsp 16011  df-sra 16207  df-rgmod 16208  df-lidl 16209  df-rsp 16210  df-2idl 16266  df-nzr 16292  df-rlreg 16306  df-domn 16307  df-idom 16308  df-assa 16335  df-asp 16336  df-ascl 16337  df-psr 16380  df-mvr 16381  df-mpl 16382  df-evls 16383  df-evl 16384  df-opsr 16388  df-psr1 16539  df-vr1 16540  df-ply1 16541  df-evl1 16543  df-coe1 16544  df-cnfld 16667  df-zrh 16745  df-zn 16748  df-mdeg 19939  df-deg1 19940  df-mon1 20014  df-uc1p 20015  df-q1p 20016  df-r1p 20017  df-lgs 21040
  Copyright terms: Public domain W3C validator