MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqb Unicode version

Theorem 2sqb 20617
Description: The converse to 2sq 20615. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
2sqb  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Distinct variable group:    x, y, P

Proof of Theorem 2sqb
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-ne 2448 . . . 4  |-  ( P  =/=  2  <->  -.  P  =  2 )
2 prmz 12762 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
32ad3antrrr 710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  P  e.  ZZ )
4 simplrr 737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  y  e.  ZZ )
5 bezout 12721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
63, 4, 5syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
7 simplll 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
8 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)
9 simplr 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
10 simprll 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  a  e.  ZZ )
11 simprlr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  b  e.  ZZ )
12 simprr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) ) )
137, 8, 9, 10, 11, 122sqblem 20616 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
( a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )  /\  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1413expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )
)  /\  P  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  /\  (
a  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ )
)  ->  ( ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a )  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1514rexlimdvva 2674 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( E. a  e.  ZZ  E. b  e.  ZZ  ( P  gcd  y )  =  ( ( P  x.  a
)  +  ( y  x.  b ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
166, 15mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( P  e. 
Prime  /\  P  =/=  2
)  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  /\  P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 )
1716ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ ) )  -> 
( P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1817rexlimdvva 2674 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 )  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
1918impancom 427 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =/=  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
201, 19syl5bir 209 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( -.  P  =  2  ->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
2120orrd 367 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )  ->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
22 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
23 oveq1 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
24 sq1 11198 . . . . . . . . 9  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
2523, 24syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x ^ 2 )  =  1 )
2625oveq1d 5873 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) )
2726eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( P  =  ( (
x ^ 2 )  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  =  ( 1  +  ( y ^ 2 ) ) ) )
28 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2928, 24syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  1  ->  (
y ^ 2 )  =  1 )
3029oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  ( 1  +  1 ) )
31 1p1e2 9840 . . . . . . . 8  |-  ( 1  +  1 )  =  2
3230, 31syl6eq 2331 . . . . . . 7  |-  ( y  =  1  ->  (
1  +  ( y ^ 2 ) )  =  2 )
3332eqeq2d 2294 . . . . . 6  |-  ( y  =  1  ->  ( P  =  ( 1  +  ( y ^
2 ) )  <->  P  = 
2 ) )
3427, 33rspc2ev 2892 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3522, 22, 34mp3an12 1267 . . . 4  |-  ( P  =  2  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3635adantl 452 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  P  =  2 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
37 2sq 20615 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  mod  4 )  =  1 )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3836, 37jaodan 760 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4
)  =  1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) ) )
3921, 38impbida 805 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  P  =  ( ( x ^ 2 )  +  ( y ^ 2 ) )  <->  ( P  =  2  \/  ( P  mod  4 )  =  1 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544  (class class class)co 5858   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742   2c2 9795   4c4 9797   ZZcz 10024    mod cmo 10973   ^cexp 11104    gcd cgcd 12685   Primecprime 12758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-gz 12977  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-field 15515  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-nzr 16010  df-rlreg 16024  df-domn 16025  df-idom 16026  df-assa 16053  df-asp 16054  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-evls 16101  df-evl 16102  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-evl1 16261  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-mdeg 19441  df-deg1 19442  df-mon1 19516  df-uc1p 19517  df-q1p 19518  df-r1p 19519  df-lgs 20534
  Copyright terms: Public domain W3C validator