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Theorem 2sqblem 21162
Description: The converse to 2sq 21161. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqb.1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
2sqb.2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )
2sqb.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) ) )
2sqb.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqb.5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqb.6  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sqblem  |-  ( ph  ->  ( P  mod  4
)  =  1 )

Proof of Theorem 2sqblem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqb.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
21simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 nprmdvds1 13112 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
42, 3syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
5 prmz 13084 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
62, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
7 1z 10312 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
8 dvdsnegb 12868 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  1  <->  P 
||  -u 1 ) )
96, 7, 8sylancl 645 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  ||  1  <->  P 
||  -u 1 ) )
104, 9mtbid 293 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  -u 1
)
11 2sqb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )
1211simpld 447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
13 2sqb.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
1412, 13zmulcld 10382 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  x.  B
)  e.  ZZ )
15 zsqcl 11453 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
1613, 15syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
17 dvdsmul1 12872 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  ( B ^ 2 ) ) )
186, 16, 17syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
1911simprd 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ZZ )
2019, 13zmulcld 10382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  B
)  e.  ZZ )
21 zsqcl 11453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( Y  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
2220, 21syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
23 peano2zm 10321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2422, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2524zcnd 10377 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
26 zsqcl 11453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( X  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
2714, 26syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  ZZ )
2928zcnd 10377 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  CC )
3025, 29addcomd 9269 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  +  ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 ) ) )
3127zcnd 10377 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC )
32 ax-1cn 9049 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3422zcnd 10377 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC )
3531, 33, 34ppncand 9452 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  +  ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 ) )  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  ( ( Y  x.  B ) ^
2 ) ) )
36 zsqcl 11453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X ^ 2 )  e.  ZZ )
3712, 36syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  ZZ )
3837zcnd 10377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
39 zsqcl 11453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y ^ 2 )  e.  ZZ )
4019, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  ZZ )
4140zcnd 10377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
4216zcnd 10377 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
4338, 41, 42adddird 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( ( Y ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
44 2sqb.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) ) )
4544oveq1d 6097 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
4612zcnd 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4713zcnd 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4846, 47sqmuld 11536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
4919zcnd 10377 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
5049, 47sqmuld 11536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
5148, 50oveq12d 6100 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  ( ( Y  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5243, 45, 513eqtr4rd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  ( ( Y  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
5330, 35, 523eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
5418, 53breqtrrd 4239 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) )
55 2sqb.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
56 dvdsmul1 12872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  A ) )
576, 55, 56syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  A ) )
586, 55zmulcld 10382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  A
)  e.  ZZ )
59 dvdsnegb 12868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P  x.  A
)  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( P  x.  A
)  <->  P  ||  -u ( P  x.  A )
) )
606, 58, 59syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( P  x.  A )  <->  P 
||  -u ( P  x.  A ) ) )
6157, 60mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  -u ( P  x.  A )
)
6220zcnd 10377 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  B
)  e.  CC )
63 negsubdi2 9361 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Y  x.  B
)  e.  CC )  ->  -u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  ( ( Y  x.  B
)  -  1 ) )
6432, 62, 63sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  ( ( Y  x.  B
)  -  1 ) )
6519zred 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
66 absresq 12108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e.  RR  ->  (
( abs `  Y
) ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
) ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
6865resqcld 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  RR )
69 prmnn 13083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
702, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
7170nnred 10016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
7271resqcld 11550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  RR )
73 zsqcl2 11460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X ^ 2 )  e. 
NN0 )
7412, 73syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  NN0 )
75 nn0addge2 10268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Y ^ 2 )  e.  RR  /\  ( X ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( Y ^ 2 )  <_  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
7668, 74, 75syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <_  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
7776, 44breqtrrd 4239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <_  P )
786zcnd 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
7978exp1d 11519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
807a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
81 2z 10313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  ZZ
8281a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
83 prmuz2 13098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
842, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
85 eluz2b2 10549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
8685simprbi 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
8784, 86syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  P )
88 1lt2 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
8988a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
90 ltexp2a 11432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  P  /\  1  <  2
) )  ->  ( P ^ 1 )  < 
( P ^ 2 ) )
9171, 80, 82, 87, 89, 90syl32anc 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  <  ( P ^ 2 ) )
9279, 91eqbrtrrd 4235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  <  ( P ^ 2 ) )
9368, 71, 72, 77, 92lelttrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <  ( P ^ 2 ) )
9467, 93eqbrtrd 4233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
) ^ 2 )  <  ( P ^
2 ) )
9549abscld 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  RR )
9649absge0d 12247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  Y ) )
9770nnnn0d 10275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
9897nn0ge0d 10278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
9995, 71, 96, 98lt2sqd 11558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  <  P  <->  ( ( abs `  Y ) ^
2 )  <  ( P ^ 2 ) ) )
10094, 99mpbird 225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  <  P )
1016zred 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
10295, 101ltnled 9221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  <  P  <->  -.  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
103100, 102mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  P  <_  ( abs `  Y ) )
104 sqnprm 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  ZZ  ->  -.  ( X ^ 2 )  e.  Prime )
10512, 104syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  -.  ( X ^
2 )  e.  Prime )
10649abs00ad 12096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  =  0  <->  Y  =  0 ) )
10744, 2eqeltrrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  Prime )
108 sq0i 11475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Y  =  0  ->  ( Y ^ 2 )  =  0 )
109108oveq2d 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Y  =  0  ->  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  0 ) )
110109eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  0  ->  (
( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  Prime  <->  ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime ) )
111107, 110syl5ibcom 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Y  =  0  ->  ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime ) )
11238addid1d 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  0 )  =  ( X ^ 2 ) )
113112eleq1d 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime  <->  ( X ^ 2 )  e. 
Prime ) )
114111, 113sylibd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y  =  0  ->  ( X ^
2 )  e.  Prime ) )
115106, 114sylbid 208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  =  0  -> 
( X ^ 2 )  e.  Prime )
)
116105, 115mtod 171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  ( abs `  Y
)  =  0 )
117 nn0abscl 12118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( abs `  Y )  e. 
NN0 )
11819, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  NN0 )
119 elnn0 10224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( abs `  Y )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  Y )  e.  NN  \/  ( abs `  Y
)  =  0 ) )
120118, 119sylib 190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  e.  NN  \/  ( abs `  Y )  =  0 ) )
121120ord 368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( -.  ( abs `  Y )  e.  NN  ->  ( abs `  Y
)  =  0 ) )
122116, 121mt3d 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  NN )
123 dvdsle 12896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( abs `  Y )  e.  NN )  -> 
( P  ||  ( abs `  Y )  ->  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
1246, 122, 123syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( abs `  Y )  ->  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
125103, 124mtod 171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( abs `  Y ) )
126 dvdsabsb 12870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  Y  <->  P 
||  ( abs `  Y
) ) )
1276, 19, 126syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P  ||  Y  <->  P 
||  ( abs `  Y
) ) )
128125, 127mtbird 294 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  Y
)
129 coprm 13101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  Y  <->  ( P  gcd  Y )  =  1 ) )
1302, 19, 129syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  Y 
<->  ( P  gcd  Y
)  =  1 ) )
131128, 130mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  1 )
132 2sqb.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
133131, 132eqtr3d 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
134133oveq1d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( ( ( P  x.  A
)  +  ( Y  x.  B ) )  -  ( Y  x.  B ) ) )
13558zcnd 10377 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  x.  A
)  e.  CC )
136135, 62pncand 9413 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B
) )  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( P  x.  A ) )
137134, 136eqtrd 2469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( P  x.  A ) )
138137negeqd 9301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  -u ( P  x.  A
) )
13964, 138eqtr3d 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  =  -u ( P  x.  A )
)
14061, 139breqtrrd 4239 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) )
14120peano2zd 10379 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  +  1 )  e.  ZZ )
142 peano2zm 10321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( Y  x.  B
)  -  1 )  e.  ZZ )
14320, 142syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  e.  ZZ )
144 dvdsmultr2 12886 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( Y  x.  B )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( Y  x.  B )  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) ) ) )
1456, 141, 143, 144syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Y  x.  B
)  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( Y  x.  B )  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) ) ) )
146140, 145mpd 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
147 sq1 11477 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
148147oveq2i 6093 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )
149 subsq 11489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  (
1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
15062, 32, 149sylancl 645 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  (
1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
151148, 150syl5eqr 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
152146, 151breqtrrd 4239 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  1 ) )
153 dvdsadd2b 12893 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  1 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  <->  P  ||  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) ) )
1546, 28, 24, 152, 153syl112anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  <-> 
P  ||  ( (
( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) ) )
15554, 154mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
156 subneg 9351 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
15731, 32, 156sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
158155, 157breqtrrd 4239 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  -  -u 1 ) )
159 oveq1 6089 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( X  x.  B ) ^
2 ) )
160159oveq1d 6097 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  -  -u 1 ) )
161160breq2d 4225 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  ( P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 )  <->  P  ||  (
( ( X  x.  B ) ^ 2 )  -  -u 1
) ) )
162161rspcev 3053 . . . 4  |-  ( ( ( X  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  -  -u 1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) )
16314, 158, 162syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) )
164 znegcl 10314 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
1657, 164ax-mp 8 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
166 eldifsn 3928 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
1671, 166sylibr 205 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
168 lgsqr 21131 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( -u 1  / L P
)  =  1  <->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) ) ) )
169165, 167, 168sylancr 646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. x  e.  ZZ  P  ||  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
) ) ) )
17010, 163, 169mpbir2and 890 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1  / L P )  =  1 )
171 m1lgs 21147 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
172167, 171syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
173170, 172mpbid 203 1  |-  ( ph  ->  ( P  mod  4
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   E.wrex 2707    \ cdif 3318   {csn 3815   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292   -ucneg 9293   NNcn 10001   2c2 10050   4c4 10052   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489    mod cmo 11251   ^cexp 11383   abscabs 12040    || cdivides 12853    gcd cgcd 13007   Primecprime 13080    / Lclgs 21079
This theorem is referenced by:  2sqb  21163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-ec 6908  df-qs 6912  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-dvds 12854  df-gcd 13008  df-prm 13081  df-phi 13156  df-pc 13212  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-prds 13672  df-pws 13674  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-imas 13735  df-divs 13736  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-nsg 14943  df-eqg 14944  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-rnghom 15820  df-drng 15838  df-field 15839  df-subrg 15867  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-sra 16245  df-rgmod 16246  df-lidl 16247  df-rsp 16248  df-2idl 16304  df-nzr 16330  df-rlreg 16344  df-domn 16345  df-idom 16346  df-assa 16373  df-asp 16374  df-ascl 16375  df-psr 16418  df-mvr 16419  df-mpl 16420  df-evls 16421  df-evl 16422  df-opsr 16426  df-psr1 16577  df-vr1 16578  df-ply1 16579  df-evl1 16581  df-coe1 16582  df-cnfld 16705  df-zrh 16783  df-zn 16786  df-mdeg 19979  df-deg1 19980  df-mon1 20054  df-uc1p 20055  df-q1p 20056  df-r1p 20057  df-lgs 21080
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