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Theorem 2sqblem 20616
Description: The converse to 2sq 20615. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sqb.1  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
2sqb.2  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )
2sqb.3  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) ) )
2sqb.4  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqb.5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqb.6  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sqblem  |-  ( ph  ->  ( P  mod  4
)  =  1 )

Proof of Theorem 2sqblem
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqb.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
21simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
3 nprmdvds1 12790 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  ||  1 )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  1
)
5 prmz 12762 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
62, 5syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
7 1z 10053 . . . . 5  |-  1  e.  ZZ
8 dvdsnegb 12546 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  1  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  1  <->  P 
||  -u 1 ) )
96, 7, 8sylancl 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  ||  1  <->  P 
||  -u 1 ) )
104, 9mtbid 291 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  -u 1
)
11 2sqb.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ ) )
1211simpld 445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
13 2sqb.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
1412, 13zmulcld 10123 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( X  x.  B
)  e.  ZZ )
15 zsqcl 11174 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
1613, 15syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )
17 dvdsmul1 12550 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( B ^ 2 )  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  ( B ^ 2 ) ) )
186, 16, 17syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
1911simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  Y  e.  ZZ )
2019, 13zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  B
)  e.  ZZ )
21 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Y  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( Y  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
2220, 21syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
23 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ  ->  (
( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2422, 23syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  e.  ZZ )
2524zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  e.  CC )
26 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( X  x.  B
) ^ 2 )  e.  ZZ )
2714, 26syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  ZZ )
2827peano2zd 10120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  ZZ )
2928zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  CC )
3025, 29addcomd 9014 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  +  ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 ) ) )
3127zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC )
32 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  CC
3332a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3422zcnd 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC )
3531, 33, 34ppncand 9197 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  +  ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 ) )  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  ( ( Y  x.  B ) ^
2 ) ) )
36 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X ^ 2 )  e.  ZZ )
3712, 36syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  ZZ )
3837zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  CC )
39 zsqcl 11174 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( Y ^ 2 )  e.  ZZ )
4019, 39syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  ZZ )
4140zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  CC )
4216zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B ^ 2 )  e.  CC )
4338, 41, 42adddird 8860 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) )  +  ( ( Y ^
2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
44 2sqb.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) ) )
4544oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  x.  ( B ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^
2 ) )  x.  ( B ^ 2 ) ) )
4612zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
4713zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4846, 47sqmuld 11257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
4919zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  Y  e.  CC )
5049, 47sqmuld 11257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  =  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( B ^
2 ) ) )
5148, 50oveq12d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  ( ( Y  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( X ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) )  +  ( ( Y ^ 2 )  x.  ( B ^ 2 ) ) ) )
5243, 45, 513eqtr4rd 2326 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  ( ( Y  x.  B
) ^ 2 ) )  =  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
5330, 35, 523eqtrd 2319 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) )  =  ( P  x.  ( B ^
2 ) ) )
5418, 53breqtrrd 4049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) )
55 2sqb.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
56 dvdsmul1 12550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  A ) )
576, 55, 56syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  A ) )
586, 55zmulcld 10123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  x.  A
)  e.  ZZ )
59 dvdsnegb 12546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P  x.  A
)  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( P  x.  A
)  <->  P  ||  -u ( P  x.  A )
) )
606, 58, 59syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( P  x.  A )  <->  P 
||  -u ( P  x.  A ) ) )
6157, 60mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  -u ( P  x.  A )
)
6220zcnd 10118 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Y  x.  B
)  e.  CC )
63 negsubdi2 9106 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( Y  x.  B
)  e.  CC )  ->  -u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  ( ( Y  x.  B
)  -  1 ) )
6432, 62, 63sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  ( ( Y  x.  B
)  -  1 ) )
6519zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  Y  e.  RR )
66 absresq 11787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( Y  e.  RR  ->  (
( abs `  Y
) ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
6765, 66syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
) ^ 2 )  =  ( Y ^
2 ) )
6865resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  e.  RR )
69 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
702, 69syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
7170nnred 9761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
7271resqcld 11271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  RR )
73 zsqcl2 11181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( X  e.  ZZ  ->  ( X ^ 2 )  e. 
NN0 )
7412, 73syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( X ^ 2 )  e.  NN0 )
75 nn0addge2 10011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( Y ^ 2 )  e.  RR  /\  ( X ^ 2 )  e.  NN0 )  -> 
( Y ^ 2 )  <_  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
7668, 74, 75syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <_  ( ( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) ) )
7776, 44breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <_  P )
786zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
7978exp1d 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
807a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
81 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  2  e.  ZZ
8281a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  2  e.  ZZ )
83 prmuz2 12776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
842, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
85 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
8685simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
8784, 86syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  P )
88 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  1  <  2
8988a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  1  <  2 )
90 ltexp2a 11153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( P  e.  RR  /\  1  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  /\  ( 1  <  P  /\  1  <  2
) )  ->  ( P ^ 1 )  < 
( P ^ 2 ) )
9171, 80, 82, 87, 89, 90syl32anc 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( P ^ 1 )  <  ( P ^ 2 ) )
9279, 91eqbrtrrd 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  <  ( P ^ 2 ) )
9368, 71, 72, 77, 92lelttrd 8974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( Y ^ 2 )  <  ( P ^ 2 ) )
9467, 93eqbrtrd 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
) ^ 2 )  <  ( P ^
2 ) )
9549abscld 11918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  RR )
9649absge0d 11926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  Y ) )
9770nnnn0d 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
9897nn0ge0d 10021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
9995, 71, 96, 98lt2sqd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  <  P  <->  ( ( abs `  Y ) ^
2 )  <  ( P ^ 2 ) ) )
10094, 99mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  <  P )
1016zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
10295, 101ltnled 8966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  <  P  <->  -.  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
103100, 102mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  -.  P  <_  ( abs `  Y ) )
104 sqnprm 12777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( X  e.  ZZ  ->  -.  ( X ^ 2 )  e.  Prime )
10512, 104syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  -.  ( X ^
2 )  e.  Prime )
106 abs00 11774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e.  CC  ->  (
( abs `  Y
)  =  0  <->  Y  =  0 ) )
10749, 106syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  =  0  <->  Y  =  0 ) )
10844, 2eqeltrrd 2358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  Prime )
109 sq0i 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( Y  =  0  ->  ( Y ^ 2 )  =  0 )
110109oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( Y  =  0  ->  (
( X ^ 2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  =  ( ( X ^ 2 )  +  0 ) )
111110eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( Y  =  0  ->  (
( ( X ^
2 )  +  ( Y ^ 2 ) )  e.  Prime  <->  ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime ) )
112108, 111syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( Y  =  0  ->  ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime ) )
11338addid1d 9012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  ( ( X ^
2 )  +  0 )  =  ( X ^ 2 ) )
114113eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ph  ->  ( ( ( X ^ 2 )  +  0 )  e.  Prime  <->  ( X ^ 2 )  e. 
Prime ) )
115112, 114sylibd 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( Y  =  0  ->  ( X ^
2 )  e.  Prime ) )
116107, 115sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  =  0  -> 
( X ^ 2 )  e.  Prime )
)
117105, 116mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  -.  ( abs `  Y
)  =  0 )
118 nn0abscl 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( Y  e.  ZZ  ->  ( abs `  Y )  e. 
NN0 )
11919, 118syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  NN0 )
120 elnn0 9967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( abs `  Y )  e.  NN0  <->  ( ( abs `  Y )  e.  NN  \/  ( abs `  Y
)  =  0 ) )
121119, 120sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  Y
)  e.  NN  \/  ( abs `  Y )  =  0 ) )
122121ord 366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( -.  ( abs `  Y )  e.  NN  ->  ( abs `  Y
)  =  0 ) )
123117, 122mt3d 117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( abs `  Y
)  e.  NN )
124 dvdsle 12574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( abs `  Y )  e.  NN )  -> 
( P  ||  ( abs `  Y )  ->  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
1256, 123, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( abs `  Y )  ->  P  <_  ( abs `  Y
) ) )
126103, 125mtod 168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( abs `  Y ) )
127 dvdsabsb 12548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  Y  <->  P 
||  ( abs `  Y
) ) )
1286, 19, 127syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( P  ||  Y  <->  P 
||  ( abs `  Y
) ) )
129126, 128mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  Y
)
130 coprm 12779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  Y  e.  ZZ )  ->  ( -.  P  ||  Y  <->  ( P  gcd  Y )  =  1 ) )
1312, 19, 130syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  Y 
<->  ( P  gcd  Y
)  =  1 ) )
132129, 131mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  1 )
133 2sqb.6 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P  gcd  Y
)  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
134132, 133eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  1  =  ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B ) ) )
135134oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( ( ( P  x.  A
)  +  ( Y  x.  B ) )  -  ( Y  x.  B ) ) )
13658zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  x.  A
)  e.  CC )
137136, 62pncand 9158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( ( P  x.  A )  +  ( Y  x.  B
) )  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( P  x.  A ) )
138135, 137eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( 1  -  ( Y  x.  B )
)  =  ( P  x.  A ) )
139138negeqd 9046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  -> 
-u ( 1  -  ( Y  x.  B
) )  =  -u ( P  x.  A
) )
14064, 139eqtr3d 2317 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  =  -u ( P  x.  A )
)
14161, 140breqtrrd 4049 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) )
14220peano2zd 10120 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  +  1 )  e.  ZZ )
143 peano2zm 10062 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Y  x.  B )  e.  ZZ  ->  (
( Y  x.  B
)  -  1 )  e.  ZZ )
14420, 143syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  e.  ZZ )
145 dvdsmultr2 12564 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( Y  x.  B )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( ( Y  x.  B )  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( Y  x.  B )  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) ) ) )
1466, 142, 144, 145syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Y  x.  B
)  -  1 )  ->  P  ||  (
( ( Y  x.  B )  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  -  1 ) ) ) )
147141, 146mpd 14 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
148 sq1 11198 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
149148oveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  ( 1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )
150 subsq 11210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Y  x.  B
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  (
1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
15162, 32, 150sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  (
1 ^ 2 ) )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
152149, 151syl5eqr 2329 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( Y  x.  B ) ^
2 )  -  1 )  =  ( ( ( Y  x.  B
)  +  1 )  x.  ( ( Y  x.  B )  - 
1 ) ) )
153147, 152breqtrrd 4049 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  1 ) )
154 dvdsadd2b 12571 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( Y  x.  B
) ^ 2 )  -  1 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  +  1 )  <->  P  ||  ( ( ( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) ) )
1556, 28, 24, 153, 154syl112anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 )  <-> 
P  ||  ( (
( ( Y  x.  B ) ^ 2 )  -  1 )  +  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  +  1 ) ) ) )
15654, 155mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
157 subneg 9096 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
15831, 32, 157sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( X  x.  B ) ^
2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  +  1 ) )
159156, 158breqtrrd 4049 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  -  -u 1 ) )
160 oveq1 5865 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  (
x ^ 2 )  =  ( ( X  x.  B ) ^
2 ) )
161160oveq1d 5873 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
)  =  ( ( ( X  x.  B
) ^ 2 )  -  -u 1 ) )
162161breq2d 4035 . . . . 5  |-  ( x  =  ( X  x.  B )  ->  ( P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 )  <->  P  ||  (
( ( X  x.  B ) ^ 2 )  -  -u 1
) ) )
163162rspcev 2884 . . . 4  |-  ( ( ( X  x.  B
)  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( ( X  x.  B ) ^ 2 )  -  -u 1 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) )
16414, 159, 163syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) )
165 znegcl 10055 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  -u 1  e.  ZZ )
1667, 165ax-mp 8 . . . 4  |-  -u 1  e.  ZZ
167 eldifsn 3749 . . . . 5  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  <->  ( P  e.  Prime  /\  P  =/=  2 ) )
1681, 167sylibr 203 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )
169 lgsqr 20585 . . . 4  |-  ( (
-u 1  e.  ZZ  /\  P  e.  ( Prime  \  { 2 } ) )  ->  ( ( -u 1  / L P
)  =  1  <->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. x  e.  ZZ  P  ||  ( ( x ^ 2 )  -  -u 1 ) ) ) )
170166, 168, 169sylancr 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( -.  P  ||  -u 1  /\  E. x  e.  ZZ  P  ||  (
( x ^ 2 )  -  -u 1
) ) ) )
17110, 164, 170mpbir2and 888 . 2  |-  ( ph  ->  ( -u 1  / L P )  =  1 )
172 m1lgs 20601 . . 3  |-  ( P  e.  ( Prime  \  {
2 } )  -> 
( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
173168, 172syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( -u 1  / L P )  =  1  <->  ( P  mod  4 )  =  1 ) )
174171, 173mpbid 201 1  |-  ( ph  ->  ( P  mod  4
)  =  1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    \ cdif 3149   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037   -ucneg 9038   NNcn 9746   2c2 9795   4c4 9797   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    mod cmo 10973   ^cexp 11104   abscabs 11719    || cdivides 12531    gcd cgcd 12685   Primecprime 12758    / Lclgs 20533
This theorem is referenced by:  2sqb  20617
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-ofr 6079  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-tpos 6234  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-ec 6662  df-qs 6666  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-phi 12834  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-prds 13348  df-pws 13350  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-imas 13411  df-divs 13412  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-mhm 14415  df-submnd 14416  df-grp 14489  df-minusg 14490  df-sbg 14491  df-mulg 14492  df-subg 14618  df-nsg 14619  df-eqg 14620  df-ghm 14681  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-abl 15092  df-mgp 15326  df-rng 15340  df-cring 15341  df-ur 15342  df-oppr 15405  df-dvdsr 15423  df-unit 15424  df-invr 15454  df-rnghom 15496  df-drng 15514  df-field 15515  df-subrg 15543  df-lmod 15629  df-lss 15690  df-lsp 15729  df-sra 15925  df-rgmod 15926  df-lidl 15927  df-rsp 15928  df-2idl 15984  df-nzr 16010  df-rlreg 16024  df-domn 16025  df-idom 16026  df-assa 16053  df-asp 16054  df-ascl 16055  df-psr 16098  df-mvr 16099  df-mpl 16100  df-evls 16101  df-evl 16102  df-opsr 16106  df-psr1 16257  df-vr1 16258  df-ply1 16259  df-evl1 16261  df-coe1 16262  df-cnfld 16378  df-zrh 16455  df-zn 16458  df-mdeg 19441  df-deg1 19442  df-mon1 19516  df-uc1p 19517  df-q1p 19518  df-r1p 19519  df-lgs 20534
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