Theorem 2sqblem 21162

Description: The converse to 2sq 21161. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2sqb.1	|- ( ph -> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
2sqb.2	|- ( ph -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )
2sqb.3	|- ( ph -> P = ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
2sqb.4	|- ( ph -> A e. ZZ )
2sqb.5	|- ( ph -> B e. ZZ )
2sqb.6	|- ( ph -> ( P gcd Y ) = ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) )

Assertion

Ref	Expression
2sqblem	|- ( ph -> ( P mod 4 ) = 1 )

Proof of Theorem 2sqblem

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2sqb.1	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
2	1	simpld 447	. . . . 5 |- ( ph -> P e. Prime )
3		nprmdvds1 13112	. . . . 5 |- ( P e. Prime -> -. P || 1 )
4	2, 3	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> -. P || 1 )
5		prmz 13084	. . . . . 6 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
6	2, 5	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> P e. ZZ )
7		1z 10312	. . . . 5 |- 1 e. ZZ
8		dvdsnegb 12868	. . . . 5 |- ( ( P e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) -> ( P || 1 <-> P || -u 1 ) )
9	6, 7, 8	sylancl 645	. . . 4 |- ( ph -> ( P || 1 <-> P || -u 1 ) )
10	4, 9	mtbid 293	. . 3 |- ( ph -> -. P || -u 1 )
11		2sqb.2	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. ZZ /\ Y e. ZZ ) )
12	11	simpld 447	. . . . 5 |- ( ph -> X e. ZZ )
13		2sqb.5	. . . . 5 |- ( ph -> B e. ZZ )
14	12, 13	zmulcld 10382	. . . 4 |- ( ph -> ( X x. B ) e. ZZ )
15		zsqcl 11453	. . . . . . . . 9 |- ( B e. ZZ -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
16	13, 15	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. ZZ )
17		dvdsmul1 12872	. . . . . . . 8 |- ( ( P e. ZZ /\ ( B ^ 2 ) e. ZZ ) -> P || ( P x. ( B ^ 2 ) ) )
18	6, 16, 17	syl2anc 644	. . . . . . 7 |- ( ph -> P || ( P x. ( B ^ 2 ) ) )
19	11	simprd 451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Y e. ZZ )
20	19, 13	zmulcld 10382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y x. B ) e. ZZ )
21		zsqcl 11453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Y x. B ) e. ZZ -> ( ( Y x. B ) ^ 2 ) e. ZZ )
22	20, 21	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) ^ 2 ) e. ZZ )
23		peano2zm 10321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) e. ZZ -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
24	22, 23	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ )
25	24	zcnd 10377	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) e. CC )
26		zsqcl 11453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( X x. B ) e. ZZ -> ( ( X x. B ) ^ 2 ) e. ZZ )
27	14, 26	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( X x. B ) ^ 2 ) e. ZZ )
28	27	peano2zd 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) e. ZZ )
29	28	zcnd 10377	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) e. CC )
30	25, 29	addcomd 9269	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) = ( ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) + ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) ) )
31	27	zcnd 10377	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( X x. B ) ^ 2 ) e. CC )
32		ax-1cn 9049	. . . . . . . . . 10 |- 1 e. CC
33	32	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> 1 e. CC )
34	22	zcnd 10377	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) ^ 2 ) e. CC )
35	31, 33, 34	ppncand 9452	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) + ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) ) = ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + ( ( Y x. B ) ^ 2 ) ) )
36		zsqcl 11453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( X e. ZZ -> ( X ^ 2 ) e. ZZ )
37	12, 36	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. ZZ )
38	37	zcnd 10377	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. CC )
39		zsqcl 11453	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Y e. ZZ -> ( Y ^ 2 ) e. ZZ )
40	19, 39	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) e. ZZ )
41	40	zcnd 10377	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) e. CC )
42	16	zcnd 10377	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( B ^ 2 ) e. CC )
43	38, 41, 42	adddird 9114	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) x. ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( Y ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) ) )
44		2sqb.3	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P = ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
45	44	oveq1d 6097	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P x. ( B ^ 2 ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) x. ( B ^ 2 ) ) )
46	12	zcnd 10377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. CC )
47	13	zcnd 10377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
48	46, 47	sqmuld 11536	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( X x. B ) ^ 2 ) = ( ( X ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
49	19	zcnd 10377	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Y e. CC )
50	49, 47	sqmuld 11536	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) ^ 2 ) = ( ( Y ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) )
51	48, 50	oveq12d 6100	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + ( ( Y x. B ) ^ 2 ) ) = ( ( ( X ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) + ( ( Y ^ 2 ) x. ( B ^ 2 ) ) ) )
52	43, 45, 51	3eqtr4rd 2480	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + ( ( Y x. B ) ^ 2 ) ) = ( P x. ( B ^ 2 ) ) )
53	30, 35, 52	3eqtrd 2473	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) = ( P x. ( B ^ 2 ) ) )
54	18, 53	breqtrrd 4239	. . . . . 6 |- ( ph -> P || ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) )
55		2sqb.4	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. ZZ )
56		dvdsmul1 12872	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ A e. ZZ ) -> P || ( P x. A ) )
57	6, 55, 56	syl2anc 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P || ( P x. A ) )
58	6, 55	zmulcld 10382	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( P x. A ) e. ZZ )
59		dvdsnegb 12868	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P e. ZZ /\ ( P x. A ) e. ZZ ) -> ( P || ( P x. A ) <-> P || -u ( P x. A ) ) )
60	6, 58, 59	syl2anc 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( P || ( P x. A ) <-> P || -u ( P x. A ) ) )
61	57, 60	mpbid 203	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> P || -u ( P x. A ) )
62	20	zcnd 10377	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Y x. B ) e. CC )
63		negsubdi2 9361	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1 e. CC /\ ( Y x. B ) e. CC ) -> -u ( 1 - ( Y x. B ) ) = ( ( Y x. B ) - 1 ) )
64	32, 62, 63	sylancr 646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( 1 - ( Y x. B ) ) = ( ( Y x. B ) - 1 ) )
65	19	zred 10376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> Y e. RR )
66		absresq 12108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( Y e. RR -> ( ( abs ` Y ) ^ 2 ) = ( Y ^ 2 ) )
67	65, 66	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) ^ 2 ) = ( Y ^ 2 ) )
68	65	resqcld 11550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) e. RR )
69		prmnn 13083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( P e. Prime -> P e. NN )
70	2, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> P e. NN )
71	70	nnred 10016	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> P e. RR )
72	71	resqcld 11550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( P ^ 2 ) e. RR )
73		zsqcl2 11460	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( X e. ZZ -> ( X ^ 2 ) e. NN0 )
74	12, 73	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( X ^ 2 ) e. NN0 )
75		nn0addge2 10268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( Y ^ 2 ) e. RR /\ ( X ^ 2 ) e. NN0 ) -> ( Y ^ 2 ) <_ ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
76	68, 74, 75	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) <_ ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) )
77	76, 44	breqtrrd 4239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) <_ P )
78	6	zcnd 10377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> P e. CC )
79	78	exp1d 11519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) = P )
80	7	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
81		2z 10313	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 2 e. ZZ
82	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 2 e. ZZ )
83		prmuz2 13098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. Prime -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
84	2, 83	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> P e. ( ZZ>= ` 2 ) )
85		eluz2b2 10549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) <-> ( P e. NN /\ 1 < P ) )
86	85	simprbi 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( P e. ( ZZ>= ` 2 ) -> 1 < P )
87	84, 86	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 < P )
88		1lt2 10143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 1 < 2
89	88	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> 1 < 2 )
90		ltexp2a 11432	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( P e. RR /\ 1 e. ZZ /\ 2 e. ZZ ) /\ ( 1 < P /\ 1 < 2 ) ) -> ( P ^ 1 ) < ( P ^ 2 ) )
91	71, 80, 82, 87, 89, 90	syl32anc 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( P ^ 1 ) < ( P ^ 2 ) )
92	79, 91	eqbrtrrd 4235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> P < ( P ^ 2 ) )
93	68, 71, 72, 77, 92	lelttrd 9229	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( Y ^ 2 ) < ( P ^ 2 ) )
94	67, 93	eqbrtrd 4233	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) ^ 2 ) < ( P ^ 2 ) )
95	49	abscld 12239	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. RR )
96	49	absge0d 12247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ ( abs ` Y ) )
97	70	nnnn0d 10275	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> P e. NN0 )
98	97	nn0ge0d 10278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> 0 <_ P )
99	95, 71, 96, 98	lt2sqd 11558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) < P <-> ( ( abs ` Y ) ^ 2 ) < ( P ^ 2 ) ) )
100	94, 99	mpbird 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` Y ) < P )
101	6	zred 10376	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> P e. RR )
102	95, 101	ltnled 9221	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) < P <-> -. P <_ ( abs ` Y ) ) )
103	100, 102	mpbid 203	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> -. P <_ ( abs ` Y ) )
104		sqnprm 13099	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( X e. ZZ -> -. ( X ^ 2 ) e. Prime )
105	12, 104	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> -. ( X ^ 2 ) e. Prime )
106	49	abs00ad 12096	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) = 0 <-> Y = 0 ) )
107	44, 2	eqeltrrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) e. Prime )
108		sq0i 11475	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( Y = 0 -> ( Y ^ 2 ) = 0 )
109	108	oveq2d 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( Y = 0 -> ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) = ( ( X ^ 2 ) + 0 ) )
110	109	eleq1d 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( Y = 0 -> ( ( ( X ^ 2 ) + ( Y ^ 2 ) ) e. Prime <-> ( ( X ^ 2 ) + 0 ) e. Prime ) )
111	107, 110	syl5ibcom 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( Y = 0 -> ( ( X ^ 2 ) + 0 ) e. Prime ) )
112	38	addid1d 9267	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ph -> ( ( X ^ 2 ) + 0 ) = ( X ^ 2 ) )
113	112	eleq1d 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> ( ( ( X ^ 2 ) + 0 ) e. Prime <-> ( X ^ 2 ) e. Prime ) )
114	111, 113	sylibd 207	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( Y = 0 -> ( X ^ 2 ) e. Prime ) )
115	106, 114	sylbid 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) = 0 -> ( X ^ 2 ) e. Prime ) )
116	105, 115	mtod 171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> -. ( abs ` Y ) = 0 )
117		nn0abscl 12118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( Y e. ZZ -> ( abs ` Y ) e. NN0 )
118	19, 117	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. NN0 )
119		elnn0 10224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( abs ` Y ) e. NN0 <-> ( ( abs ` Y ) e. NN \/ ( abs ` Y ) = 0 ) )
120	118, 119	sylib 190	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( abs ` Y ) e. NN \/ ( abs ` Y ) = 0 ) )
121	120	ord 368	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( -. ( abs ` Y ) e. NN -> ( abs ` Y ) = 0 ) )
122	116, 121	mt3d 120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( abs ` Y ) e. NN )
123		dvdsle 12896	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( P e. ZZ /\ ( abs ` Y ) e. NN ) -> ( P || ( abs ` Y ) -> P <_ ( abs ` Y ) ) )
124	6, 122, 123	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( P || ( abs ` Y ) -> P <_ ( abs ` Y ) ) )
125	103, 124	mtod 171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> -. P || ( abs ` Y ) )
126		dvdsabsb 12870	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( P e. ZZ /\ Y e. ZZ ) -> ( P || Y <-> P || ( abs ` Y ) ) )
127	6, 19, 126	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( P || Y <-> P || ( abs ` Y ) ) )
128	125, 127	mtbird 294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> -. P || Y )
129		coprm 13101	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ Y e. ZZ ) -> ( -. P || Y <-> ( P gcd Y ) = 1 ) )
130	2, 19, 129	syl2anc 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( -. P || Y <-> ( P gcd Y ) = 1 ) )
131	128, 130	mpbid 203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P gcd Y ) = 1 )
132		2sqb.6	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( P gcd Y ) = ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) )
133	131, 132	eqtr3d 2471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> 1 = ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) )
134	133	oveq1d 6097	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( 1 - ( Y x. B ) ) = ( ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) - ( Y x. B ) ) )
135	58	zcnd 10377	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( P x. A ) e. CC )
136	135, 62	pncand 9413	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( ( P x. A ) + ( Y x. B ) ) - ( Y x. B ) ) = ( P x. A ) )
137	134, 136	eqtrd 2469	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 1 - ( Y x. B ) ) = ( P x. A ) )
138	137	negeqd 9301	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> -u ( 1 - ( Y x. B ) ) = -u ( P x. A ) )
139	64, 138	eqtr3d 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) - 1 ) = -u ( P x. A ) )
140	61, 139	breqtrrd 4239	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> P || ( ( Y x. B ) - 1 ) )
141	20	peano2zd 10379	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) + 1 ) e. ZZ )
142		peano2zm 10321	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Y x. B ) e. ZZ -> ( ( Y x. B ) - 1 ) e. ZZ )
143	20, 142	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( Y x. B ) - 1 ) e. ZZ )
144		dvdsmultr2 12886	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( Y x. B ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( Y x. B ) - 1 ) e. ZZ ) -> ( P || ( ( Y x. B ) - 1 ) -> P || ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) ) )
145	6, 141, 143, 144	syl3anc 1185	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( P || ( ( Y x. B ) - 1 ) -> P || ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) ) )
146	140, 145	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ph -> P || ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) )
147		sq1 11477	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 ^ 2 ) = 1
148	147	oveq2i 6093	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 )
149		subsq 11489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Y x. B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) )
150	62, 32, 149	sylancl 645	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - ( 1 ^ 2 ) ) = ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) )
151	148, 150	syl5eqr 2483	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) = ( ( ( Y x. B ) + 1 ) x. ( ( Y x. B ) - 1 ) ) )
152	146, 151	breqtrrd 4239	. . . . . . 7 |- ( ph -> P || ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) )
153		dvdsadd2b 12893	. . . . . . 7 |- ( ( P e. ZZ /\ ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) e. ZZ /\ ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) e. ZZ /\ P || ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) ) ) -> ( P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) ) )
154	6, 28, 24, 152, 153	syl112anc 1189	. . . . . 6 |- ( ph -> ( P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) <-> P || ( ( ( ( Y x. B ) ^ 2 ) - 1 ) + ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) ) ) )
155	54, 154	mpbird 225	. . . . 5 |- ( ph -> P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) )
156		subneg 9351	. . . . . 6 |- ( ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) )
157	31, 32, 156	sylancl 645	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) + 1 ) )
158	155, 157	breqtrrd 4239	. . . 4 |- ( ph -> P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) )
159		oveq1 6089	. . . . . . 7 |- ( x = ( X x. B ) -> ( x ^ 2 ) = ( ( X x. B ) ^ 2 ) )
160	159	oveq1d 6097	. . . . . 6 |- ( x = ( X x. B ) -> ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) = ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) )
161	160	breq2d 4225	. . . . 5 |- ( x = ( X x. B ) -> ( P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) <-> P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) ) )
162	161	rspcev 3053	. . . 4 |- ( ( ( X x. B ) e. ZZ /\ P || ( ( ( X x. B ) ^ 2 ) - -u 1 ) ) -> E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) )
163	14, 158, 162	syl2anc 644	. . 3 |- ( ph -> E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) )
164		znegcl 10314	. . . . 5 |- ( 1 e. ZZ -> -u 1 e. ZZ )
165	7, 164	ax-mp 8	. . . 4 |- -u 1 e. ZZ
166		eldifsn 3928	. . . . 5 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) <-> ( P e. Prime /\ P =/= 2 ) )
167	1, 166	sylibr 205	. . . 4 |- ( ph -> P e. ( Prime \ { 2 } ) )
168		lgsqr 21131	. . . 4 |- ( ( -u 1 e. ZZ /\ P e. ( Prime \ { 2 } ) ) -> ( ( -u 1 / L P ) = 1 <-> ( -. P || -u 1 /\ E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) ) ) )
169	165, 167, 168	sylancr 646	. . 3 |- ( ph -> ( ( -u 1 / L P ) = 1 <-> ( -. P || -u 1 /\ E. x e. ZZ P || ( ( x ^ 2 ) - -u 1 ) ) ) )
170	10, 163, 169	mpbir2and 890	. 2 |- ( ph -> ( -u 1 / L P ) = 1 )
171		m1lgs 21147	. . 3 |- ( P e. ( Prime \ { 2 } ) -> ( ( -u 1 / L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
172	167, 171	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( -u 1 / L P ) = 1 <-> ( P mod 4 ) = 1 ) )
173	170, 172	mpbid 203	1 |- ( ph -> ( P mod 4 ) = 1 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 178   \/ wo 359   /\ wa 360   = wceq 1653   e. wcel 1726   =/= wne 2600   E.wrex 2707   \ cdif 3318   {csn 3815   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   CCcc 8989   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992   + caddc 8994   x. cmul 8996   < clt 9121   <_ cle 9122   - cmin 9292   -ucneg 9293   NNcn 10001   2c2 10050   4c4 10052   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   mod cmo 11251   ^cexp 11383   abscabs 12040   || cdivides 12853   gcd cgcd 13007   Primecprime 13080   / Lclgs 21079

This theorem is referenced by:  2sqb  21163

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069  ax-addf 9070  ax-mulf 9071

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-iin 4097  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-of 6306  df-ofr 6307  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-tpos 6480  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-ec 6908  df-qs 6912  df-map 7021  df-pm 7022  df-ixp 7065  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-cda 8049  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-4 10061  df-5 10062  df-6 10063  df-7 10064  df-8 10065  df-9 10066  df-10 10067  df-n0 10223  df-z 10284  df-dec 10384  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-dvds 12854  df-gcd 13008  df-prm 13081  df-phi 13156  df-pc 13212  df-struct 13472  df-ndx 13473  df-slot 13474  df-base 13475  df-sets 13476  df-ress 13477  df-plusg 13543  df-mulr 13544  df-starv 13545  df-sca 13546  df-vsca 13547  df-tset 13549  df-ple 13550  df-ds 13552  df-unif 13553  df-hom 13554  df-cco 13555  df-prds 13672  df-pws 13674  df-0g 13728  df-gsum 13729  df-imas 13735  df-divs 13736  df-mre 13812  df-mrc 13813  df-acs 13815  df-mnd 14691  df-mhm 14739  df-submnd 14740  df-grp 14813  df-minusg 14814  df-sbg 14815  df-mulg 14816  df-subg 14942  df-nsg 14943  df-eqg 14944  df-ghm 15005  df-cntz 15117  df-cmn 15415  df-abl 15416  df-mgp 15650  df-rng 15664  df-cring 15665  df-ur 15666  df-oppr 15729  df-dvdsr 15747  df-unit 15748  df-invr 15778  df-rnghom 15820  df-drng 15838  df-field 15839  df-subrg 15867  df-lmod 15953  df-lss 16010  df-lsp 16049  df-sra 16245  df-rgmod 16246  df-lidl 16247  df-rsp 16248  df-2idl 16304  df-nzr 16330  df-rlreg 16344  df-domn 16345  df-idom 16346  df-assa 16373  df-asp 16374  df-ascl 16375  df-psr 16418  df-mvr 16419  df-mpl 16420  df-evls 16421  df-evl 16422  df-opsr 16426  df-psr1 16577  df-vr1 16578  df-ply1 16579  df-evl1 16581  df-coe1 16582  df-cnfld 16705  df-zrh 16783  df-zn 16786  df-mdeg 19979  df-deg1 19980  df-mon1 20054  df-uc1p 20055  df-q1p 20056  df-r1p 20057  df-lgs 21080