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Theorem 2sqlem10 20629
Description: Lemma for 2sq 20631. Every factor of a "proper" sum of two squares (where the summands are coprime) is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem7.2  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
Assertion
Ref Expression
2sqlem10  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  NN  /\  B  ||  A )  ->  B  e.  S )
Distinct variable groups:    x, w, y, z    x, A, y, z    x, B, y   
x, S, y, z   
x, Y, y
Allowed substitution hints:    A( w)    B( z, w)    S( w)    Y( z, w)

Proof of Theorem 2sqlem10
Dummy variables  a 
b  n  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfz1end 10836 . . . . 5  |-  ( B  e.  NN  <->  B  e.  ( 1 ... B
) )
21biimpi 186 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ( 1 ... B
) )
3 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  1  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... 1
) )
43raleqdv 2755 . . . . 5  |-  ( m  =  1  ->  ( A. b  e.  (
1 ... m ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  <->  A. b  e.  ( 1 ... 1
) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) ) )
5 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  n  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... n
) )
65raleqdv 2755 . . . . 5  |-  ( m  =  n  ->  ( A. b  e.  (
1 ... m ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  <->  A. b  e.  ( 1 ... n
) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) ) )
7 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) )
87raleqdv 2755 . . . . 5  |-  ( m  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. b  e.  (
1 ... m ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  <->  A. b  e.  ( 1 ... (
n  +  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) ) )
9 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( m  =  B  ->  (
1 ... m )  =  ( 1 ... B
) )
109raleqdv 2755 . . . . 5  |-  ( m  =  B  ->  ( A. b  e.  (
1 ... m ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  <->  A. b  e.  ( 1 ... B
) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) ) )
11 elfz1eq 10823 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  ( 1 ... 1 )  ->  b  =  1 )
12 1z 10069 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
13 zgz 12996 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  1  e.  ZZ [ _i ]
)
1412, 13ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ZZ [ _i ]
15 sq1 11214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1 ^ 2 )  =  1
1615eqcomi 2300 . . . . . . . . . . 11  |-  1  =  ( 1 ^ 2 )
17 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  1  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  1
) )
18 abs1 11798 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( abs `  1 )  =  1
1917, 18syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  1  ->  ( abs `  x )  =  1 )
2019oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  1  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( 1 ^ 2 ) )
2120eqeq2d 2307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  1  ->  (
1  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 )  <->  1  =  ( 1 ^ 2 ) ) )
2221rspcev 2897 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  ZZ [
_i ]  /\  1  =  ( 1 ^ 2 ) )  ->  E. x  e.  ZZ [ _i ]  1  =  ( ( abs `  x
) ^ 2 ) )
2314, 16, 22mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  E. x  e.  ZZ [ _i ] 
1  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 )
24 2sq.1 . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
25242sqlem1 20618 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ [ _i ] 
1  =  ( ( abs `  x ) ^ 2 ) )
2623, 25mpbir 200 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  S
2711, 26syl6eqel 2384 . . . . . . . 8  |-  ( b  e.  ( 1 ... 1 )  ->  b  e.  S )
2827a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  ( 1 ... 1 )  ->  (
b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
2928ralrimivw 2640 . . . . . 6  |-  ( b  e.  ( 1 ... 1 )  ->  A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
3029rgen 2621 . . . . 5  |-  A. b  e.  ( 1 ... 1
) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
)
31 2sqlem7.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  Y  =  { z  |  E. x  e.  ZZ  E. y  e.  ZZ  ( ( x  gcd  y )  =  1  /\  z  =  ( ( x ^
2 )  +  ( y ^ 2 ) ) ) }
32 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
33 nncn 9770 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  CC )
3433ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  n  e.  CC )
35 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  e.  CC
36 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( n  + 
1 )  -  1 )  =  n )
3734, 35, 36sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  ( ( n  +  1 )  - 
1 )  =  n )
3837oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  ( 1 ... ( ( n  + 
1 )  -  1 ) )  =  ( 1 ... n ) )
3938raleqdv 2755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  ( A. b  e.  ( 1 ... (
( n  +  1 )  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
)  <->  A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) ) )
4032, 39mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  A. b  e.  ( 1 ... ( ( n  +  1 )  -  1 ) ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )
41 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  ( n  + 
1 )  ||  m
)
42 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
4342ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  NN )
44 simprl 732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  m  e.  Y
)
4524, 31, 40, 41, 43, 442sqlem9 20628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  ( m  e.  Y  /\  (
n  +  1 ) 
||  m ) )  ->  ( n  + 
1 )  e.  S
)
4645expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( n  e.  NN  /\ 
A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  /\  m  e.  Y )  ->  (
( n  +  1 )  ||  m  -> 
( n  +  1 )  e.  S ) )
4746ralrimiva 2639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S ) )  ->  A. m  e.  Y  ( ( n  + 
1 )  ||  m  ->  ( n  +  1 )  e.  S ) )
4847ex 423 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. b  e.  (
1 ... n ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  ->  A. m  e.  Y  ( ( n  + 
1 )  ||  m  ->  ( n  +  1 )  e.  S ) ) )
49 breq2 4043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  m  ->  (
( n  +  1 )  ||  a  <->  ( n  +  1 )  ||  m ) )
5049imbi1d 308 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  m  ->  (
( ( n  + 
1 )  ||  a  ->  ( n  +  1 )  e.  S )  <-> 
( ( n  + 
1 )  ||  m  ->  ( n  +  1 )  e.  S ) ) )
5150cbvralv 2777 . . . . . . . . 9  |-  ( A. a  e.  Y  (
( n  +  1 )  ||  a  -> 
( n  +  1 )  e.  S )  <->  A. m  e.  Y  ( ( n  + 
1 )  ||  m  ->  ( n  +  1 )  e.  S ) )
5248, 51syl6ibr 218 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. b  e.  (
1 ... n ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  ->  A. a  e.  Y  ( ( n  + 
1 )  ||  a  ->  ( n  +  1 )  e.  S ) ) )
53 ovex 5899 . . . . . . . . 9  |-  ( n  +  1 )  e. 
_V
54 breq1 4042 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( n  + 
1 )  ->  (
b  ||  a  <->  ( n  +  1 )  ||  a ) )
55 eleq1 2356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( n  + 
1 )  ->  (
b  e.  S  <->  ( n  +  1 )  e.  S ) )
5654, 55imbi12d 311 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( b  ||  a  ->  b  e.  S )  <-> 
( ( n  + 
1 )  ||  a  ->  ( n  +  1 )  e.  S ) ) )
5756ralbidv 2576 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S )  <->  A. a  e.  Y  ( ( n  + 
1 )  ||  a  ->  ( n  +  1 )  e.  S ) ) )
5853, 57ralsn 3687 . . . . . . . 8  |-  ( A. b  e.  { (
n  +  1 ) } A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
)  <->  A. a  e.  Y  ( ( n  + 
1 )  ||  a  ->  ( n  +  1 )  e.  S ) )
5952, 58syl6ibr 218 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. b  e.  (
1 ... n ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  ->  A. b  e.  { ( n  +  1 ) } A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) ) )
6059ancld 536 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. b  e.  (
1 ... n ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  -> 
( A. b  e.  ( 1 ... n
) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
)  /\  A. b  e.  { ( n  + 
1 ) } A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S ) ) ) )
61 elnnuz 10280 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  <->  n  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
62 fzsuc 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  ( 1 ... ( n  + 
1 ) )  =  ( ( 1 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) )
6361, 62sylbi 187 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
1 ... ( n  + 
1 ) )  =  ( ( 1 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) )
6463raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. b  e.  (
1 ... ( n  + 
1 ) ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  <->  A. b  e.  ( ( 1 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S ) ) )
65 ralunb 3369 . . . . . . 7  |-  ( A. b  e.  ( (
1 ... n )  u. 
{ ( n  + 
1 ) } ) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S )  <-> 
( A. b  e.  ( 1 ... n
) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
)  /\  A. b  e.  { ( n  + 
1 ) } A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S ) ) )
6664, 65syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. b  e.  (
1 ... ( n  + 
1 ) ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  <->  ( A. b  e.  ( 1 ... n ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  /\  A. b  e.  { ( n  +  1 ) } A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) ) ) )
6760, 66sylibrd 225 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. b  e.  (
1 ... n ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  ->  A. b  e.  (
1 ... ( n  + 
1 ) ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S ) ) )
684, 6, 8, 10, 30, 67nnind 9780 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  A. b  e.  ( 1 ... B
) A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S
) )
69 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  ||  a  <->  B  ||  a
) )
70 eleq1 2356 . . . . . . 7  |-  ( b  =  B  ->  (
b  e.  S  <->  B  e.  S ) )
7169, 70imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
( b  ||  a  ->  b  e.  S )  <-> 
( B  ||  a  ->  B  e.  S ) ) )
7271ralbidv 2576 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( A. a  e.  Y  ( b  ||  a  ->  b  e.  S )  <->  A. a  e.  Y  ( B  ||  a  ->  B  e.  S )
) )
7372rspcv 2893 . . . 4  |-  ( B  e.  ( 1 ... B )  ->  ( A. b  e.  (
1 ... B ) A. a  e.  Y  (
b  ||  a  ->  b  e.  S )  ->  A. a  e.  Y  ( B  ||  a  ->  B  e.  S )
) )
742, 68, 73sylc 56 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  A. a  e.  Y  ( B  ||  a  ->  B  e.  S ) )
75 breq2 4043 . . . . 5  |-  ( a  =  A  ->  ( B  ||  a  <->  B  ||  A
) )
7675imbi1d 308 . . . 4  |-  ( a  =  A  ->  (
( B  ||  a  ->  B  e.  S )  <-> 
( B  ||  A  ->  B  e.  S ) ) )
7776rspcv 2893 . . 3  |-  ( A  e.  Y  ->  ( A. a  e.  Y  ( B  ||  a  ->  B  e.  S )  ->  ( B  ||  A  ->  B  e.  S ) ) )
7874, 77syl5 28 . 2  |-  ( A  e.  Y  ->  ( B  e.  NN  ->  ( B  ||  A  ->  B  e.  S )
) )
79783imp 1145 1  |-  ( ( A  e.  Y  /\  B  e.  NN  /\  B  ||  A )  ->  B  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   E.wrex 2557    u. cun 3163   {csn 3653   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ran crn 4706   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   1c1 8754    + caddc 8756    - cmin 9053   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   ...cfz 10798   ^cexp 11120   abscabs 11735    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   ZZ [ _i ]cgz 12992
This theorem is referenced by:  2sqlem11  20630
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-gz 12993
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