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Theorem 2sqlem3 21152
Description: Lemma for 2sqlem5 21154. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem5.1  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2sqlem5.2  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2sqlem4.3  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2sqlem4.4  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
2sqlem4.5  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
2sqlem4.6  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
2sqlem4.7  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
2sqlem4.8  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
2sqlem4.9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
Assertion
Ref Expression
2sqlem3  |-  ( ph  ->  N  e.  S )

Proof of Theorem 2sqlem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem4.3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 2sqlem4.4 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 gzreim 13309 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ [
_i ] )
41, 2, 3syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ [
_i ] )
5 2sqlem4.5 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  ZZ )
6 2sqlem4.6 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  D  e.  ZZ )
7 gzreim 13309 . . . . . . . 8  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ [
_i ] )
85, 6, 7syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ [
_i ] )
9 gzmulcl 13308 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ [
_i ]  /\  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ [ _i ]
)  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )
104, 8, 9syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ [ _i ] )
11 gzcn 13302 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
1210, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
13 2sqlem5.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
14 prmnn 13084 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1615nncnd 10018 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1715nnne0d 10046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
1812, 16, 17divcld 9792 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC )
1915nnred 10017 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
2019, 12, 17redivd 12036 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
21 prmz 13085 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2213, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
23 dvdsmul2 12874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  e.  ZZ )  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
2422, 22, 23syl2anc 644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P  x.  P ) )
2516sqvald 11522 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =  ( P  x.  P ) )
2624, 25breqtrrd 4240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( P ^ 2 ) )
27 2sqlem5.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2827nnzd 10376 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
29 zsqcl 11454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  ZZ  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
3022, 29syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )
31 dvdsmul2 12874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( P ^ 2 )  e.  ZZ )  -> 
( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3228, 30, 31syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
3328, 30zmulcld 10383 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  e.  ZZ )
34 dvdstr 12885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( P ^ 2 )  e.  ZZ  /\  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( P  ||  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^
2 )  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) ) )
3522, 30, 33, 34syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  ||  ( P ^ 2 )  /\  ( P ^
2 )  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) ) )
3626, 32, 35mp2and 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( N  x.  ( P ^
2 ) ) )
37 gzcn 13302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( A  +  ( _i  x.  B
) )  e.  CC )
384, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  +  ( _i  x.  B ) )  e.  CC )
3938abscld 12240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  RR )
4039recnd 9116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  e.  CC )
41 gzcn 13302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( C  +  ( _i  x.  D
) )  e.  CC )
428, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  +  ( _i  x.  D ) )  e.  CC )
4342abscld 12240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  RR )
4443recnd 9116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC )
4540, 44sqmuld 11537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
461zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
472zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4846, 47crred 12038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  A )
4948oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( A ^ 2 ) )
5046, 47crimd 12039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  =  B )
5150oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) ) ^ 2 )  =  ( B ^ 2 ) )
5249, 51oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^ 2 ) ) )
5338absvalsq2d 12247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 ) ) )
54 2sqlem4.7 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( N  x.  P
)  =  ( ( A ^ 2 )  +  ( B ^
2 ) ) )
5552, 53, 543eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  P
) )
565zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
576zred 10377 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  D  e.  RR )
5856, 57crred 12038 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  C )
5958oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( C ^ 2 ) )
6056, 57crimd 12039 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  =  D )
6160oveq1d 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ^ 2 )  =  ( D ^ 2 ) )
6259, 61oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^ 2 ) ) )
6342absvalsq2d 12247 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re
`  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) ) )
64 2sqlem4.8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( C ^ 2 )  +  ( D ^
2 ) ) )
6562, 63, 643eqtr4d 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 )  =  P )
6655, 65oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( N  x.  P )  x.  P ) )
6727nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6867, 16, 16mulassd 9113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  P )  x.  P
)  =  ( N  x.  ( P  x.  P ) ) )
6945, 66, 683eqtrd 2474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P  x.  P )
) )
7038, 42absmuld 12258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
7170oveq1d 6098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( abs `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )
7225oveq2d 6099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  =  ( N  x.  ( P  x.  P
) ) )
7369, 71, 723eqtr4d 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( N  x.  ( P ^ 2 ) ) )
7436, 73breqtrrd 4240 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
7512absvalsq2d 12247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
76 elgz 13301 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ [ _i ] 
<->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  CC  /\  ( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ ) )
7776simp2bi 974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
7810, 77syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
79 zsqcl 11454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8078, 79syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8180zcnd 10378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8276simp3bi 975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  e.  ZZ [ _i ]  ->  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
8310, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )
84 zsqcl 11454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) )  e.  ZZ  ->  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ )
8685zcnd 10378 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
8781, 86addcomd 9270 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  +  ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
8875, 87eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )
8974, 88breqtrd 4238 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) )
90 2sqlem4.9 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) ) )
915zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
922zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
9391, 92mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  e.  CC )
941zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
956zcnd 10378 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  D  e.  CC )
9694, 95mulcld 9110 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( A  x.  D
)  e.  CC )
9793, 96addcomd 9270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) ) )
9891, 92mulcomd 9111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  B
)  =  ( B  x.  C ) )
9998oveq2d 6099 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  x.  D )  +  ( C  x.  B ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10097, 99eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  B )  +  ( A  x.  D ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10190, 100breqtrd 4238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
10238, 42immuld 12026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( ( Re `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
10348, 60oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( A  x.  D ) )
10450, 58oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( A  +  (
_i  x.  B )
) )  x.  (
Re `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( B  x.  C ) )
105103, 104oveq12d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( ( Re
`  ( A  +  ( _i  x.  B
) ) )  x.  ( Im `  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  +  ( ( Im `  ( A  +  ( _i  x.  B ) ) )  x.  ( Re `  ( C  +  (
_i  x.  D )
) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C
) ) )
106102, 105eqtrd 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  =  ( ( A  x.  D )  +  ( B  x.  C ) ) )
107101, 106breqtrrd 4240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
108 2nn 10135 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  NN
109108a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  2  e.  NN )
110 prmdvdsexp 13116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
11113, 83, 109, 110syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
112107, 111mpbird 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
113 dvdsadd2b 12894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  e.  ZZ  /\  P  ||  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 ) ) )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11422, 80, 85, 112, 113syl112anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( (
( Im `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 ) ) ) )
11589, 114mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) ) ) ^ 2 ) )
116 prmdvdsexp 13116 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ  /\  2  e.  NN )  ->  ( P  ||  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^
2 )  <->  P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
11713, 78, 109, 116syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( Re `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  <-> 
P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ) )
118115, 117mpbid 203 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  ||  ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) )
119 dvdsval2 12857 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Re
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
12022, 17, 78, 119syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
121118, 120mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Re `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
12220, 121eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
12319, 12, 17imdivd 12037 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
124 dvdsval2 12857 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  ZZ  /\  P  =/=  0  /\  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  ZZ )  ->  ( P  ||  ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( ( Im
`  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
12522, 17, 83, 124syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  <->  ( (
Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ ) )
126107, 125mpbid 203 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( Im `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P )  e.  ZZ )
127123, 126eqeltrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Im `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ )
128 elgz 13301 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P )  e.  ZZ [ _i ]  <->  ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  CC  /\  ( Re `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ  /\  (
Im `  ( (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  e.  ZZ ) )
12918, 122, 127, 128syl3anbrc 1139 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ [
_i ] )
13012, 16, 17absdivd 12259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) ) )
13115nnnn0d 10276 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN0 )
132131nn0ge0d 10279 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  0  <_  P )
13319, 132absidd 12227 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  P
)  =  P )
134133oveq2d 6099 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  ( abs `  P ) )  =  ( ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
135130, 134eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) )  =  ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) )
136135oveq1d 6098 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 ) )
13712abscld 12240 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  RR )
138137recnd 9116 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  e.  CC )
139138, 16, 17sqdivd 11538 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) )  /  P ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) ) )
14073oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) ) )
14115nnsqcld 11545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  NN )
142141nncnd 10018 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  e.  CC )
143141nnne0d 10046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ 2 )  =/=  0 )
14467, 142, 143divcan4d 9798 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( N  x.  ( P ^ 2 ) )  /  ( P ^ 2 ) )  =  N )
145140, 144eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) ) ) ^ 2 )  /  ( P ^
2 ) )  =  N )
146136, 139, 1453eqtrrd 2475 . . 3  |-  ( ph  ->  N  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) )
147 fveq2 5730 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  ( abs `  x )  =  ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) )
148147oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  (
( abs `  x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
) ) ^ 2 ) )
149148eqeq2d 2449 . . . 4  |-  ( x  =  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D
) ) )  /  P )  ->  ( N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 )  <->  N  =  ( ( abs `  (
( ( A  +  ( _i  x.  B
) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P ) ) ^ 2 ) ) )
150149rspcev 3054 . . 3  |-  ( ( ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
)  e.  ZZ [
_i ]  /\  N  =  ( ( abs `  ( ( ( A  +  ( _i  x.  B ) )  x.  ( C  +  ( _i  x.  D ) ) )  /  P
) ) ^ 2 ) )  ->  E. x  e.  ZZ [ _i ]  N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 ) )
151129, 146, 150syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  E. x  e.  ZZ [ _i ]  N  =  ( ( abs `  x
) ^ 2 ) )
152 2sq.1 . . 3  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
1531522sqlem1 21149 . 2  |-  ( N  e.  S  <->  E. x  e.  ZZ [ _i ]  N  =  ( ( abs `  x ) ^
2 ) )
154151, 153sylibr 205 1  |-  ( ph  ->  N  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   CCcc 8990   0cc0 8992   _ici 8994    + caddc 8995    x. cmul 8997    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   ZZcz 10284   ^cexp 11384   Recre 11904   Imcim 11905   abscabs 12041    || cdivides 12854   Primecprime 13081   ZZ [ _i ]cgz 13299
This theorem is referenced by:  2sqlem4  21153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-gz 13300
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