Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem6 Unicode version

Theorem 2sqlem6 20608
 Description: Lemma for 2sq 20615. If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1
2sqlem6.1
2sqlem6.2
2sqlem6.3
2sqlem6.4
Assertion
Ref Expression
2sqlem6
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()   ()

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2
2 2sqlem6.2 . . 3
3 2sqlem6.3 . . 3
4 breq2 4027 . . . . . . 7
54imbi1d 308 . . . . . 6
65ralbidv 2563 . . . . 5
7 oveq2 5866 . . . . . . . 8
87eleq1d 2349 . . . . . . 7
98imbi1d 308 . . . . . 6
109ralbidv 2563 . . . . 5
116, 10imbi12d 311 . . . 4
12 breq2 4027 . . . . . . 7
1312imbi1d 308 . . . . . 6
1413ralbidv 2563 . . . . 5
15 oveq2 5866 . . . . . . . 8
1615eleq1d 2349 . . . . . . 7
1716imbi1d 308 . . . . . 6
1817ralbidv 2563 . . . . 5
1914, 18imbi12d 311 . . . 4
20 breq2 4027 . . . . . . 7
2120imbi1d 308 . . . . . 6
2221ralbidv 2563 . . . . 5
23 oveq2 5866 . . . . . . . 8
2423eleq1d 2349 . . . . . . 7
2524imbi1d 308 . . . . . 6
2625ralbidv 2563 . . . . 5
2722, 26imbi12d 311 . . . 4
28 breq2 4027 . . . . . . 7
2928imbi1d 308 . . . . . 6
3029ralbidv 2563 . . . . 5
31 oveq2 5866 . . . . . . . 8
3231eleq1d 2349 . . . . . . 7
3332imbi1d 308 . . . . . 6
3433ralbidv 2563 . . . . 5
3530, 34imbi12d 311 . . . 4
36 breq2 4027 . . . . . . 7
3736imbi1d 308 . . . . . 6
3837ralbidv 2563 . . . . 5
39 oveq2 5866 . . . . . . . 8
4039eleq1d 2349 . . . . . . 7
4140imbi1d 308 . . . . . 6
4241ralbidv 2563 . . . . 5
4338, 42imbi12d 311 . . . 4
44 nncn 9754 . . . . . . . . 9
4544mulid1d 8852 . . . . . . . 8
4645eleq1d 2349 . . . . . . 7
4746biimpd 198 . . . . . 6
4847rgen 2608 . . . . 5
4948a1i 10 . . . 4
50 breq1 4026 . . . . . . 7
51 eleq1 2343 . . . . . . 7
5250, 51imbi12d 311 . . . . . 6
5352rspcv 2880 . . . . 5
54 prmz 12762 . . . . . . 7
55 iddvds 12542 . . . . . . 7
5654, 55syl 15 . . . . . 6
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10
58 simprl 732 . . . . . . . . . 10
59 simpll 730 . . . . . . . . . 10
60 simprr 733 . . . . . . . . . 10
61 simplr 731 . . . . . . . . . 10
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 20607 . . . . . . . . 9
6362expr 598 . . . . . . . 8
6463ralrimiva 2626 . . . . . . 7
6564ex 423 . . . . . 6
6656, 65embantd 50 . . . . 5
6753, 66syld 40 . . . 4
68 prth 554 . . . . 5
69 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14
70 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . 15
7170ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14
72 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . 15
7372ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14
74 euclemma 12787 . . . . . . . . . . . . . 14
7569, 71, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13
7675imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12
77 jaob 758 . . . . . . . . . . . 12
7876, 77syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11
7978ralbidva 2559 . . . . . . . . . 10
80 r19.26 2675 . . . . . . . . . 10
8179, 80syl6bb 252 . . . . . . . . 9
8281biimpa 470 . . . . . . . 8
83 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13
8483eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12
85 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12
8684, 85imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11
8786cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10
8844adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15
89 uzssz 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 zsscn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9189, 90sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9392ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9491, 93sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15
95 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9695ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9791, 96sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 mul32 8979 . . . . . . . . . . . . . . . 16
99 mulass 8825 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10098, 99eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15
10188, 94, 97, 100syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14
102101eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13
103 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15
104 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105104simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10696, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
107103, 106nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . . . 14
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14
109 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
110109eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16
111 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16
112110, 111imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15
113112rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14
114107, 108, 113sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13
115102, 114sylbird 226 . . . . . . . . . . . 12
116115imim1d 69 . . . . . . . . . . 11
117116ralimdva 2621 . . . . . . . . . 10
11887, 117sylan2b 461 . . . . . . . . 9
119118expimpd 586 . . . . . . . 8
12082, 119embantd 50 . . . . . . 7
121120ex 423 . . . . . 6
122121com23 72 . . . . 5
12368, 122syl5 28 . . . 4
12411, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 123prmind 12770 . . 3
1252, 3, 124sylc 56 . 2
126 2sqlem6.4 . 2
127 oveq1 5865 . . . . 5
128127eleq1d 2349 . . . 4
129 eleq1 2343 . . . 4
130128, 129imbi12d 311 . . 3
131130rspcv 2880 . 2
1321, 125, 126, 131syl3c 57 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   w3a 934   wceq 1623   wcel 1684  wral 2543   class class class wbr 4023   cmpt 4077   crn 4690  cfv 5255  (class class class)co 5858  cc 8735  c1 8738   cmul 8742   clt 8867  cn 9746  c2 9795  cz 10024  cuz 10230  cexp 11104  cabs 11719   cdivides 12531  cprime 12758  cgz 12976 This theorem is referenced by:  2sqlem8  20611 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-gz 12977
 Copyright terms: Public domain W3C validator