MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2sqlem6 Unicode version

Theorem 2sqlem6 20608
Description: Lemma for 2sq 20615. If a number that is a sum of two squares is divisible by a number whose prime divisors are all sums of two squares, then the quotient is a sum of two squares. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2sq.1  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
2sqlem6.1  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2sqlem6.2  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
2sqlem6.3  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )
)
2sqlem6.4  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  S )
Assertion
Ref Expression
2sqlem6  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Distinct variable groups:    w, p    ph, p    B, p    S, p
Allowed substitution hints:    ph( w)    A( w, p)    B( w)    S( w)

Proof of Theorem 2sqlem6
Dummy variables  n  x  y  z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2sqlem6.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  NN )
2 2sqlem6.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  NN )
3 2sqlem6.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )
)
4 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  1
) )
54imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  1  ->  p  e.  S ) ) )
65ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  1  ->  p  e.  S ) ) )
7 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  1 ) )
87eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  1 )  e.  S
) )
98imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
109ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
116, 10imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  1  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  y
) )
1312imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  y  ->  p  e.  S ) ) )
1413ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  y  ->  p  e.  S ) ) )
15 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  y ) )
1615eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  y )  e.  S
) )
1716imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1817ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1914, 18imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
20 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  z
) )
2120imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
2221ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
23 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  z ) )
2423eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  z )  e.  S
) )
2524imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
2625ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
2722, 26imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
28 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  (
y  x.  z ) ) )
2928imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) ) )
3029ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) ) )
31 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
3231eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S
) )
3332imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
3433ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
3530, 34imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  x.  z )  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
36 breq2 4027 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
p  ||  x  <->  p  ||  B
) )
3736imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( p  ||  B  ->  p  e.  S ) ) )
3837ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  (
p  ||  B  ->  p  e.  S ) ) )
39 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  B  ->  (
m  x.  x )  =  ( m  x.  B ) )
4039eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( x  =  B  ->  (
( m  x.  x
)  e.  S  <->  ( m  x.  B )  e.  S
) )
4140imbi1d 308 . . . . . 6  |-  ( x  =  B  ->  (
( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
4241ralbidv 2563 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
4338, 42imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
44 nncn 9754 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
4544mulid1d 8852 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  x.  1 )  =  m )
4645eleq1d 2349 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  x.  1 )  e.  S  <->  m  e.  S ) )
4746biimpd 198 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S )
)
4847rgen 2608 . . . . 5  |-  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S )
4948a1i 10 . . . 4  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  1  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  1 )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
50 breq1 4026 . . . . . . 7  |-  ( p  =  x  ->  (
p  ||  x  <->  x  ||  x
) )
51 eleq1 2343 . . . . . . 7  |-  ( p  =  x  ->  (
p  e.  S  <->  x  e.  S ) )
5250, 51imbi12d 311 . . . . . 6  |-  ( p  =  x  ->  (
( p  ||  x  ->  p  e.  S )  <-> 
( x  ||  x  ->  x  e.  S ) ) )
5352rspcv 2880 . . . . 5  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  x  ->  p  e.  S )  ->  (
x  ||  x  ->  x  e.  S ) ) )
54 prmz 12762 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  e.  ZZ )
55 iddvds 12542 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  ||  x )
5654, 55syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  x  ||  x )
57 2sq.1 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  ran  ( w  e.  ZZ [ _i ]  |->  ( ( abs `  w
) ^ 2 ) )
58 simprl 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  m  e.  NN )
59 simpll 730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  x  e.  Prime )
60 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  -> 
( m  x.  x
)  e.  S )
61 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  x  e.  S )
6257, 58, 59, 60, 612sqlem5 20607 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  ( m  e.  NN  /\  ( m  x.  x )  e.  S ) )  ->  m  e.  S )
6362expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
6463ralrimiva 2626 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  Prime  /\  x  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
6564ex 423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( x  e.  S  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
6656, 65embantd 50 . . . . 5  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( ( x  ||  x  ->  x  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
6753, 66syld 40 . . . 4  |-  ( x  e.  Prime  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  x  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  x )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
68 prth 554 . . . . 5  |-  ( ( ( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  /\  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
) ) )
69 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  ->  p  e.  Prime )
70 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  y  e.  ZZ )
7170ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
y  e.  ZZ )
72 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  ZZ )
7372ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
z  e.  ZZ )
74 euclemma 12787 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  (
p  ||  ( y  x.  z )  <->  ( p  ||  y  \/  p  ||  z ) ) )
7569, 71, 73, 74syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  ||  (
y  x.  z )  <-> 
( p  ||  y  \/  p  ||  z ) ) )
7675imbi1d 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  <->  ( (
p  ||  y  \/  p  ||  z )  ->  p  e.  S )
) )
77 jaob 758 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( p  ||  y  \/  p  ||  z )  ->  p  e.  S
)  <->  ( ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
7876, 77syl6bb 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  <->  ( (
p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  ( p  ||  z  ->  p  e.  S )
) ) )
7978ralbidva 2559 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  <->  A. p  e.  Prime  ( ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  (
p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) ) )
80 r19.26 2675 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. p  e.  Prime  ( ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
) ) )
8179, 80syl6bb 252 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) ) ) )
8281biimpa 470 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) ) )
83 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  n  ->  (
m  x.  y )  =  ( n  x.  y ) )
8483eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
( m  x.  y
)  e.  S  <->  ( n  x.  y )  e.  S
) )
85 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  n  ->  (
m  e.  S  <->  n  e.  S ) )
8684, 85imbi12d 311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  n  ->  (
( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S ) ) )
8786cbvralv 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )  <->  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)
8844adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
89 uzssz 10247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  ZZ
90 zsscn 10032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ZZ  C_  CC
9189, 90sstri 3188 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  CC
92 simpll 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
y  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9392ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9491, 93sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  y  e.  CC )
95 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
9695ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
9791, 96sseldi 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  CC )
98 mul32 8979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  y
)  x.  z )  =  ( ( m  x.  z )  x.  y ) )
99 mulass 8825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  y
)  x.  z )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
10098, 99eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( m  e.  CC  /\  y  e.  CC  /\  z  e.  CC )  ->  (
( m  x.  z
)  x.  y )  =  ( m  x.  ( y  x.  z
) ) )
10188, 94, 97, 100syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  z )  x.  y )  =  ( m  x.  (
y  x.  z ) ) )
102101eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  x.  y )  e.  S  <->  ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S
) )
103 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
104 eluz2b2 10290 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( z  e.  NN  /\  1  < 
z ) )
105104simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  z  e.  NN )
10696, 105syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  z  e.  NN )
107103, 106nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  x.  z )  e.  NN )
108 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  A. n  e.  NN  ( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S ) )
109 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
n  x.  y )  =  ( ( m  x.  z )  x.  y ) )
110109eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
( n  x.  y
)  e.  S  <->  ( (
m  x.  z )  x.  y )  e.  S ) )
111 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
n  e.  S  <->  ( m  x.  z )  e.  S
) )
112110, 111imbi12d 311 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( m  x.  z )  ->  (
( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S )  <-> 
( ( ( m  x.  z )  x.  y )  e.  S  ->  ( m  x.  z
)  e.  S ) ) )
113112rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( m  x.  z )  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( ( n  x.  y )  e.  S  ->  n  e.  S )  ->  ( ( ( m  x.  z )  x.  y )  e.  S  ->  ( m  x.  z )  e.  S
) ) )
114107, 108, 113sylc 56 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  x.  y )  e.  S  ->  (
m  x.  z )  e.  S ) )
115102, 114sylbird 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  (
m  x.  z )  e.  S ) )
116115imim1d 69 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2
)  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S ) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
117116ralimdva 2621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) )  /\  A. n  e.  NN  (
( n  x.  y
)  e.  S  ->  n  e.  S )
)  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
11887, 117sylan2b 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( y  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>=
`  2 ) )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  (
y  x.  z )  ->  p  e.  S
) )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )
)  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
119118expimpd 586 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
)  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
12082, 119embantd 50 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )  /\  A. p  e.  Prime  (
p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S ) )  -> 
( ( ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S ) )  -> 
( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  (
( m  x.  z
)  e.  S  ->  m  e.  S )
) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
121120ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  ->  (
( ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S
)  /\  A. p  e.  Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S
) )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
122121com23 72 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  /\  A. p  e. 
Prime  ( p  ||  z  ->  p  e.  S ) )  ->  ( A. m  e.  NN  (
( m  x.  y
)  e.  S  ->  m  e.  S )  /\  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z )  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z
) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12368, 122syl5 28 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  z  e.  ( ZZ>= `  2 )
)  ->  ( (
( A. p  e. 
Prime  ( p  ||  y  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  y )  e.  S  ->  m  e.  S ) )  /\  ( A. p  e.  Prime  ( p 
||  z  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  z )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  ( y  x.  z
)  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  ( y  x.  z ) )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) ) )
12411, 19, 27, 35, 43, 49, 67, 123prmind 12770 . . 3  |-  ( B  e.  NN  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  ||  B  ->  p  e.  S )  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) ) )
1252, 3, 124sylc 56 . 2  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S ) )
126 2sqlem6.4 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  S )
127 oveq1 5865 . . . . 5  |-  ( m  =  A  ->  (
m  x.  B )  =  ( A  x.  B ) )
128127eleq1d 2349 . . . 4  |-  ( m  =  A  ->  (
( m  x.  B
)  e.  S  <->  ( A  x.  B )  e.  S
) )
129 eleq1 2343 . . . 4  |-  ( m  =  A  ->  (
m  e.  S  <->  A  e.  S ) )
130128, 129imbi12d 311 . . 3  |-  ( m  =  A  ->  (
( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S )  <-> 
( ( A  x.  B )  e.  S  ->  A  e.  S ) ) )
131130rspcv 2880 . 2  |-  ( A  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( m  x.  B )  e.  S  ->  m  e.  S )  ->  ( ( A  x.  B )  e.  S  ->  A  e.  S ) ) )
1321, 125, 126, 131syl3c 57 1  |-  ( ph  ->  A  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ran crn 4690   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   1c1 8738    x. cmul 8742    < clt 8867   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104   abscabs 11719    || cdivides 12531   Primecprime 12758   ZZ [ _i ]cgz 12976
This theorem is referenced by:  2sqlem8  20611
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-gz 12977
  Copyright terms: Public domain W3C validator